Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решим логарифмическое неравенство, предварительно определив область допустимых значений переменной $x$.
Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: $$\begin{cases} 25-x^2 > 0 \\ x^2+x-20 > 0 \end{cases}$$ Из первого условия получаем $x \in (-5; 5)$, из второго — $x \in (-\infty; -5) \cup (4; +\infty)$. Пересечение этих интервалов дает ОДЗ: $x \in (4; 5)$.

Преобразуем исходное выражение, используя свойства логарифмов. Заметим, что основания логарифмов можно привести к общему виду. Так как на области определения обе части неравенства определены, перейдем к сравнению аргументов с учетом знака основания.
После потенцирования и упрощения получим рациональное неравенство: $$\frac{(x-4)(x+2)}{x-5} \leq 0$$ Учитывая ограничения $4 < x < 5$, проанализируем знаки множителей.
При $x \in (4; 5)$ выражение $x-4$ положительно, $x+2$ положительно, а знаменатель $x-5$ отрицателен. Следовательно, дробь всегда меньше нуля на данном промежутке.

Таким образом, решением неравенства является весь интервал, входящий в область допустимых значений.

Ответ: $(4; 5)$

Критерии оценивания:
— 2 балла: решение полностью верно, получен правильный ответ.
— 1 балл: допущена единственная вычислительная ошибка, не изменившая логику решения, ИЛИ ответ отличается от верного только включением/исключением граничных точек.
— 0 баллов: решение не удовлетворяет вышеуказанным требованиям.

Источник: ФИПИ