Задание 16

Неравенства · 109 заданий

Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство 9/(log₃ x) - log₃ (9/x) ⩽ 34/(log₃ x²).
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство log_(x + 1) (x² - 5 x + 7) ⩽ log_(x + 1) x.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (log₃₆ x + 1) · (1/(log₃₆ x) + 1) ⩽ log₃₆ x.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство 4/(log₂ x) - log₂ (4/x) ⩽ 38/(log₂ x²).
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (0,25^x - 4)/(16^x - 4^(x + 2) + 64) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (0,125^x - 64)/(16^x - 4^(x + 1) + 4) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (0,2^x - 125)/(4^x - 2^(x + 2,5) + 8) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Сложное
Решите неравенство (1,5^x - 3,375)/(0,25^x - 0,5^(x - 3,5) + 32) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Среднее
Решите неравенство (117 - 15 · 3^x)/(9^x - 36 · 3^x + 243) ⩾ 0,5.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (31 - 5 · 2^x)/(4^x - 24 · 2^x + 128) ⩾ 0,25.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (x³ - x² - x + 1)/(4^(x^2) - 16 · 2^(x^2) + 64) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (x³ - x² - x + 1)/(9^(x^2) - 18 · 3^(x^2) + 81) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва

Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решите неравенство: $( 2 - 3 x ) \cdot \log _{2 x - 1} \left(x^{2} - 2 x + 2\right) \leq 0 .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решим логарифмическое неравенство, предварительно определив область допустимых значений переменной $x$ .
Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: $\begin{cases} 25-x^2 > 0 \\ x^2+x-20 > 0 \end{cases}$ Из первого условия получаем $x \in (-5; 5)$ , из второго — $x \in (-\infty; -5) \cup (4; +\infty)$ . Пересечение этих интервалов дает ОДЗ: $x \in (4; 5)$ .

Преобразуем исходное выражение, используя свойства логарифмов. Заметим, что основания логарифмов можно привести к общему виду. Так как на области определения обе части неравенства определены, перейдем к сравнению аргументов с учетом знака основания.
После потенцирования и упрощения получим рациональное неравенство: $\frac{(x-4)(x+2)}{x-5} \leq 0$ Учитывая ограничения $4 < x < 5$ , проанализируем знаки множителей.
При $x \in (4; 5)$ выражение $x-4$ положительно, $x+2$ положительно, а знаменатель $x-5$ отрицателен. Следовательно, дробь всегда меньше нуля на данном промежутке.

Таким образом, решением неравенства является весь интервал, входящий в область допустимых значений.

Ответ: $(4; 5)$

Критерии оценивания:
— 2 балла: решение полностью верно, получен правильный ответ.
— 1 балл: допущена единственная вычислительная ошибка, не изменившая логику решения, ИЛИ ответ отличается от верного только включением/исключением граничных точек.
— 0 баллов: решение не удовлетворяет вышеуказанным требованиям.

Источник: ФИПИ