Решение:
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной:
 $\left\{\begin{matrix} x > 0 \\ x \neq 1 \\ 2x \neq 1 \\ 2x^{-2} \neq 1 \end{matrix}\right.$ откуда получаем $x \in ( 0 ; \frac{1}{2} ) \cup ( \frac{1}{2} ; 1 ) \cup ( 1 ; \sqrt{2} ) \cup ( \sqrt{2} ; + \infty ) .$
Преобразуем исходное выражение, используя свойства логарифмов:
$\frac{( \log _{x} 2 + \log _{x} x^{- 1} ) \cdot ( \log _{x} 2 + \log _{x} x^{2} )}{\frac{1}{\log _{x} (2x)} \cdot \frac{1}{\log _{x} (2x^{-2})}} < 40$
Упростим числитель и перенесем знаменатели в основную строку:
$( \log _{x} 2 - 1 ) \cdot ( \log _{x} 2 + 2 ) \cdot \log _{x} (2x) \cdot \log _{x} (2x^{-2}) < 40$
Разложим логарифмы произведения и степени:
$( \log _{x} 2 - 1 ) \cdot ( \log _{x} 2 + 2 ) \cdot ( \log _{x} 2 + 1 ) \cdot ( \log _{x} 2 - 2 ) < 40 .$
Для удобства решения введем новую переменную:
$a = \log _{x} 2$
Тогда неравенство примет вид:
$( a - 1 ) ( a + 2 ) ( a + 1 ) ( a - 2 ) < 40$
Сгруппируем скобки по формуле разности квадратов:
$( a^{2} - 1 ) ( a^{2} - 4 ) < 40$
$a^{4} - 5 a^{2} + 4 - 40 < 0$
$a^{4} - 5 a^{2} - 36 < 0$
Разложим левую часть на множители:
$( a^{2} - 9 ) ( a^{2} + 4 ) < 0 .$
Так как выражение $a^{2} + 4$ всегда положительно, получаем:
$a^{2} - 9 < 0$

Следовательно, $a \in ( - 3 ; 3 ) .$
Перейдем обратно к переменной $x$, учитывая ОДЗ:
 $\left\{\begin{matrix} -3 < \log _{x} 2 < 3 \\ x \in ( 0 ; \frac{1}{2} ) \cup ( \frac{1}{2} ; 1 ) \cup ( 1 ; \sqrt{2} ) \cup ( \sqrt{2} ; + \infty ) \end{matrix}\right. \\$
Решая систему логарифмических неравенств, находим:
$\left\{\begin{matrix} x \in ( 0 ; 1 ) \cup ( \sqrt[3]{2} ; + \infty ) \\ x \in ( 0 ; \frac{1}{\sqrt[3]{2}} ) \cup ( 1 ; + \infty ) \\ x \in ( 0 ; \frac{1}{2} ) \cup ( \frac{1}{2} ; 1 ) \cup ( 1 ; \sqrt{2} ) \cup ( \sqrt{2} ; + \infty ) \end{matrix}\right. \rightarrow$
Итоговое множество решений:
$x \in ( 0 ; \frac{1}{2} ) \cup ( \frac{1}{2} ; \frac{1}{\sqrt[3]{2}} ) \cup ( \sqrt[3]{2} ; \sqrt{2} ) \cup ( \sqrt{2} ; + \infty ) .$

Ответ: $( 0 ; \frac{1}{2} ) \cup ( \frac{1}{2} ; \frac{1}{\sqrt[3]{2}} ) \cup ( \sqrt[3]{2} ; \sqrt{2} ) \cup ( \sqrt{2} ; + \infty )$

Источник: ФИПИ