Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решим логарифмическое неравенство, предварительно определив область допустимых значений переменной. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$$\begin{cases} x^2 > 0 \\ x^2 - 16x + 64 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 0 \\ (x - 8)^2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 8 \end{cases}$$

Теперь преобразуем исходное выражение, используя свойства логарифма:

$$\log_{2}(x^2) + \log_{2}((x-8)^2) \leqslant 18$$

$$2\log_{2}|x| + 2\log_{2}|x-8| \leqslant 18$$

Разделим обе части неравенства на 2:

$$\log_{2}|x| + \log_{2}|x-8| \leqslant 9$$

$$\log_{2}(|x| \cdot |x-8|) \leqslant \log_{2} 2^9$$

Так как основание логарифма $2 > 1$, переходим к сравнению аргументов с сохранением знака неравенства:

$$|x^2 - 8x| \leqslant 512$$

Данное неравенство с модулем равносильно системе:

$$\begin{cases} x^2 - 8x \leqslant 512 \\ x^2 - 8x \geqslant -512 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 - 8x - 512 \leqslant 0 \\ x^2 - 8x + 512 \geqslant 0 \end{cases}$$

Рассмотрим второе неравенство системы: $x^2 - 8x + 512 \geqslant 0$. Дискриминант $D = 64 - 4 \cdot 512 < 0$, а коэффициент при $x^2$ положителен, значит, оно выполняется при любых $x$.

Решим первое неравенство: $x^2 - 8x - 512 \leqslant 0$. Найдём корни уравнения $x^2 - 8x - 512 = 0$:

$$D/4 = 16 + 512 = 528 = 16 \cdot 33$$

$$x_{1,2} = 4 \pm 4\sqrt{33}$$

Следовательно, $x \in [4 - 4\sqrt{33}; 4 + 4\sqrt{33}]$. Учитывая ограничения $x \neq 0$ и $x \neq 8$, получаем итоговое решение.

Ответ: $[4 - 4\sqrt{33}; 0) \cup (0; 8) \cup (8; 4 + 4\sqrt{33}]$

Критерии оценивания:
2 балла — представлено полностью верное решение и получен правильный ответ.
1 балл — допущена вычислительная ошибка, не изменившая логику решения, либо в ответе неверно включены/исключены граничные точки.
0 баллов — решение не соответствует указанным требованиям.

Источник: ФИПИ