Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решим логарифмическое неравенство, определив область допустимых значений переменной $x$. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$$\begin{cases} x^2 > 0 \\ 25-x^2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 0 \\ x^2 < 25 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 0 \\ -5 < x < 5 \end{cases}$$

Таким образом, область определения: $x \in (-5; 0) \cup (0; 5)$.

Преобразуем исходное неравенство, используя свойства логарифма:

$$\log_5 (x^2) + \log_5 (25-x^2) \le \log_5 144$$

$$\log_5 (x^2(25-x^2)) \le \log_5 144$$

Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и мы переходим к сравнению аргументов:

$$x^2(25-x^2) \le 144$$

$$25x^2 - x^4 - 144 \le 0$$

$$x^4 - 25x^2 + 144 \ge 0$$

Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное неравенство:

$$t^2 - 25t + 144 \ge 0$$

Корни уравнения $t^2 - 25t + 144 = 0$ по теореме Виета: $t_1 = 9$, $t_2 = 16$. Тогда:

$$(t-9)(t-16) \ge 0 \Rightarrow t \le 9 \text{ или } t \ge 16$$

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $x^2 \le 9 \Leftrightarrow |x| \le 3 \Leftrightarrow -3 \le x \le 3$

2) $x^2 \ge 16 \Leftrightarrow |x| \ge 4 \Leftrightarrow x \le -4 \text{ или } x \ge 4$

Теперь пересечем полученные решения с ОДЗ $x \in (-5; 0) \cup (0; 5)$:

Для первого случая с учетом $x \neq 0$: $x \in [-3; 0) \cup (0; 3]$.

Для второго случая с учетом границ $-5$ и $5$: $x \in (-5; -4] \cup [4; 5)$.

Объединяя все промежутки, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $(-5; -4] \cup [-3; 0) \cup (0; 3] \cup [4; 5)$

Критерии оценивания:
2 балла — приведен полный обоснованный вывод и получен правильный ответ.
1 балл — решение в целом верно, но допущена одна вычислительная ошибка, либо ответ отличается от верного только включением/исключением граничных точек.
0 баллов — решение не удовлетворяет вышеуказанным требованиям.

Источник: ФИПИ