Задание №16 — Показательные неравенства

Разбор решения:
Для начала определим область допустимых значений: так как знаменатели не могут быть равны нулю, получаем условие $x \neq -1$.
Введем вспомогательную переменную, положив $t = 5^{x}$. Тогда исходное неравенство примет вид:
$$\frac{1}{t + 31} \leq \frac{4}{5t - 1}$$ Перенесем всё в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю:
$$\frac{5t - 1 - 4(t + 31)}{(t + 31)(5t - 1)} \leq 0$$ После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в числителе получаем:
$$\frac{t - 125}{(t + 31)(5t - 1)} \leq 0$$ Решим полученное рациональное неравенство относительно $t$ методом интервалов:

Множество решений для $t$: $t \in (-\infty; -31) \cup (\frac{1}{5}; 125]$.
Выполним переход к исходной переменной $x$, учитывая, что показательная функция $5^x$ всегда принимает только положительные значения ($5^x > 0$):
1) Условие $5^x < -31$ не имеет решений.
2) Условие $\frac{1}{5} < 5^x \leq 125$ равносильно $5^{-1} < 5^x \leq 5^3$.
Отсюда получаем интервал для переменной $x$: $x \in (-1; 3]$.

Критерии оценивания:
2 балла — решение полностью обосновано, получен правильный ответ.
1 балл — допущена вычислительная ошибка, не влияющая на общую логику решения, либо ответ отличается от верного только включением/исключением граничных точек.
0 баллов — решение не удовлетворяет вышеуказанным требованиям.

Ответ: $x \in (-1; 3]$

Источник: ФИПИ