Задание №16 — Смешанные неравенства

Рассмотрим решение данного неравенства:

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) переменной. Для логарифма необходимо выполнение условия $x^2 - 1 > 0$, что даёт интервалы $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. Также знаменатель дроби не должен обращаться в нуль: $2^{x^2-4} - 1 \neq 0$, откуда $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 2$.

2. Применим метод рационализации для логарифмического выражения и показательной функции в знаменателе на области определения:

$$\frac{(x^2 - 1) - 1}{x^2 - 4} \leq 0$$

$$\frac{x^2 - 2}{x^2 - 4} \leq 0$$

3. Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$\frac{(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}{(x - 2)(x + 2)} \leq 0$$

4. Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов и пересечём результат с ОДЗ. С учётом ограничений $|x| > 1$ и $x \neq \pm 2$, получаем итоговые промежутки.

Ответ: $(-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2)$.

Критерии оценивания:

2 балла — представлено полностью верное и обоснованное решение.
1 балл — допущена одна вычислительная ошибка, не изменившая логику решения, либо в ответе неверно включены/исключены граничные точки при верном ходе рассуждений.
0 баллов — решение не удовлетворяет указанным выше требованиям.

Источник: ФИПИ