Задание №16 — Показательные неравенства

Решим исходное неравенство, используя метод замены переменной. Заметим, что $4^x = (2^x)^2$. Пусть $t = 2^x$, при этом $t > 0$. Тогда неравенство принимает вид: $$\frac{t^2 - 5t + 3}{t - 4} + \frac{t^2 - 5t + 11}{t - 5} \le 2t + 1$$

Выделим целую часть в каждой дроби в левой части выражения: $$\frac{t(t - 4) - (t - 4) - 1}{t - 4} + \frac{t(t - 5) + 11}{t - 5} \le 2t + 1$$ $$t - 1 - \frac{1}{t - 4} + t + \frac{11}{t - 5} \le 2t + 1$$ $$2t - 1 - \frac{1}{t - 4} + \frac{11}{t - 5} \le 2t + 1$$

Упростим полученное неравенство, вычтя $2t$ из обеих частей и перенеся все слагаемые в левую сторону: $$\frac{11}{t - 5} - \frac{1}{t - 4} - 2 \le 0$$

Приведем выражение к общему знаменателю: $$\frac{11(t - 4) - (t - 5) - 2(t - 4)(t - 5)}{(t - 4)(t - 5)} \le 0$$ $$\frac{11t - 44 - t + 5 - 2(t^2 - 9t + 20)}{(t - 4)(t - 5)} \le 0$$ $$\frac{10t - 39 - 2t^2 + 18t - 40}{(t - 4)(t - 5)} \le 0$$ $$\frac{-2t^2 + 28t - 79}{(t - 4)(t - 5)} \le 0$$

Умножим на $-1$, сменив знак неравенства: $$\frac{2t^2 - 28t + 79}{(t - 4)(t - 5)} \ge 0$$

Найдем корни квадратного трехчлена в числителе $2t^2 - 28t + 79 = 0$: $$D = 28^2 - 4 \cdot 2 \cdot 79 = 784 - 632 = 152$$ $$t_{1,2} = \frac{28 \pm \sqrt{152}}{4} = \frac{28 \pm 2\sqrt{38}}{4} = 7 \pm \frac{\sqrt{38}}{2}$$

Так как $6 < \sqrt{38} < 7$, то $3 < \frac{\sqrt{38}}{2} < 3,5$. Следовательно: $$3,5 < 7 - \frac{\sqrt{38}}{2} < 4 \quad \text{и} \quad 10 < 7 + \frac{\sqrt{38}}{2} < 10,5$$

Решим рациональное неравенство относительно $t$ методом интервалов: $$t \in \left(0; 7 - \frac{\sqrt{38}}{2}\right] \cup (4; 5) \cup \left[7 + \frac{\sqrt{38}}{2}; +\infty\right)$$

Вернемся к переменной $x$, учитывая, что $t = 2^x$:
1) $2^x \le 7 - \frac{\sqrt{38}}{2} \Rightarrow x \le \log_2 \left(7 - \frac{\sqrt{38}}{2}\right)$
2) $4 < 2^x < 5 \Rightarrow 2 < x < \log_2 5$
3) $2^x \ge 7 + \frac{\sqrt{38}}{2} \Rightarrow x \ge \log_2 \left(7 + \frac{\sqrt{38}}{2}\right)$

Ответ: $\left(-\infty; \log_2 \left(7 - \frac{\sqrt{38}}{2}\right)\right] \cup (2; \log_2 5) \cup \left[\log_2 \left(7 + \frac{\sqrt{38}}{2}\right); +\infty\right)$

Источник: ФИПИ