Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим неравенство: $\log _{11} \left(8 x^{2} + 7\right) - \log _{11} \left(x^{2} + x + 1\right) \geq \log _{11} \left(\frac{x}{x + 5} + 7\right)$.
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):

$\left\{\begin{matrix} 8 x^{2} + 7 > 0 \\ x^{2} + x + 1 > 0 \\ \frac{x}{x + 5} + 7 > 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow$

$\left\{\begin{matrix} x \in \mathbb{R} \\ x \in \mathbb{R} \\ \frac{x + 7(x + 5)}{x + 5} > 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x \in \mathbb{R} \\ x \in \mathbb{R} \\ \frac{8 x + 35}{x + 5} > 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow$

$\Rightarrow x \in ( - \infty ; - 5 ) \cup ( - \frac{35}{8} ; + \infty )$

Преобразуем левую часть по свойству разности логарифмов и упростим аргумент справа:
$\log _{11} \left(\frac{8 x^{2} + 7}{x^{2} + x + 1}\right) \geq \log _{11} \left(\frac{8 x + 35}{x + 5}\right)$

Так как основание логарифмической функции $11 > 1$, функция является возрастающей. Переходим к сравнению аргументов с сохранением знака неравенства:
$\frac{8 x^{2} + 7}{x^{2} + x + 1} \geq \frac{8 x + 35}{x + 5}$
$\frac{8 x^{2} + 7}{x^{2} + x + 1} - \frac{8 x + 35}{x + 5} \geq 0$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{( 8 x^{2} + 7 ) ( x + 5 ) - ( 8 x + 35 ) ( x^{2} + x + 1 )}{( x^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} \geq 0$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{8 x^{3} + 40 x^{2} + 7 x + 35 - ( 8 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 35 x^{2} + 35 x + 35 )}{( x^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} \geq 0 \\ \frac{8 x^{3} + 40 x^{2} + 7 x + 35 - 8 x^{3} - 43 x^{2} - 43 x - 35}{( x^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} \geq 0$
После приведения подобных слагаемых получаем:
$\frac{- 3 x^{2} - 36 x}{( x^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} \geq 0$
Разделим обе части на $-3$, меняя знак неравенства:
$\frac{x^{2} + 12 x}{( x^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} \leq 0$
$\frac{x ( x + 12 )}{( x^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} \leq 0$
Заметим, что квадратный трехчлен $x^2 + x + 1$ всегда положителен (дискриминант $D < 0$). Решим методом интервалов:

Промежуточное решение: $x \in ( - \infty ; - 12 ] \cup ( - 5 ; 0 ]$

С учетом найденных ранее ограничений (ОДЗ) окончательно имеем:
$x \in ( - \infty ; - 12 ] \cup ( - \frac{35}{8} ; 0 ] .$

Ответ: $x \in ( - \infty ; - 12 ] \cup ( - \frac{35}{8} ; 0 ]$

Источник: ФИПИ