Задание №1 — Параллелограммы

Решение:
Рассмотрим параллельные прямые $BC$ и $AD$, которые пересекаются секущей $BL$. При таком пересечении накрест лежащие углы $CBL$ и $ALB$ будут равны. Так как $BL$ — биссектриса, то $\angle ABL = \angle CBL$, а значит, $\angle ABL = \angle ALB$. Это доказывает, что треугольник $ABL$ является равнобедренным, откуда следует равенство сторон $AB = AL$.
Согласно условию, точка $L$ делит сторону $AD$ в отношении $3:4$. Обозначим длину отрезка $AL$ как $3x$, тогда длина отрезка $LD$ составит $4x$.
Таким образом, сторона $AB = 3x$, а сторона $AD = AL + LD = 3x + 4x = 7x$.
Зная периметр параллелограмма, составим уравнение:
$$P = 2 \cdot (AB + AD)$$ $$2 \cdot (3x + 7x) = 33$$ $$20x = 33$$ $$x = \frac{33}{20} = 1{,}65$$
Теперь вычислим длину стороны $AD$:
$$AD = 7x = 7 \cdot 1{,}65 = 11{,}55.$$

Ответ: 11,55

Источник: ФИПИ