Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Тригонометрич. ур-яЗамена переменной в уравнениях и неравенствахОДЗ: аргумент логарифма и подкоренное выражениеПростейшие тригонометрические уравненияСведение к квадратному уравнениюОтбор корней на отрезкеКомбинированные триг. уравнения

2 баллаФИПИСреднее#23610

а) Решите уравнение $\log _{6} \left(2 \sin ^{2} \left(x\right) - 3 \sin \left(x\right) - 1\right) = 0 .$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{5 \pi}{2} ; - \pi\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Рассмотрим логарифмическое уравнение: $\log _{6} \left(2 \sin ^{2} (x) - 3 \sin (x) - 1\right) = 0$ .
Согласно определению логарифма, выражение под его знаком должно быть равно $6^0$ , то есть:
$2 \sin ^{2} (x) - 3 \sin (x) - 1 = 1$

Для решения полученного уравнения введем замену переменной $t = \sin (x)$ , где $|t| \le 1$ .
Получаем квадратное уравнение: $2 t^{2} - 3 t - 2 = 0$ .
Найдем его корни через дискриминант или по теореме Виета:
$t_{1} = 2$ или $t_{2} = - 0,5$ .
Значение $t = 2$ выходит за пределы области значений синуса, поэтому оставляем только $t = - \frac{1}{2}$ .

Выполним обратный переход к переменной $x$ :
$\sin (x) = - \frac{1}{2}$
Отсюда получаем две серии решений:
$\left[\begin{matrix} x = -\frac{\pi}{6} + 2 \pi n \\ x = -\frac{5\pi}{6} + 2 \pi k \end{matrix}\right. k, n \in \mathbb{Z}$
(что эквивалентно записям $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$ ).

б) Произведем отбор корней, принадлежащих заданному отрезку, используя тригонометрический круг:

Указанному промежутку соответствует единственная точка:
$x = - 2 \pi - \frac{\pi}{6} = - \frac{13 \pi}{6}$ .

Критерии оценивания:
— 2 балла: Верно выполнены оба пункта задания.
— 1 балл: Правильно решен только пункт а), либо допущена одна вычислительная ошибка, но логика решения обоих пунктов сохранена.
— 0 баллов: Решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: а) $\frac{7 \pi}{6} + 2 \pi k, \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$ ; б) $- \frac{13 \pi}{6}$

Источник: ФИПИ