Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
а) Рассмотрим логарифмическое уравнение: $\log _{6} \left(2 \sin ^{2} (x) - 3 \sin (x) - 1\right) = 0$.
Согласно определению логарифма, выражение под его знаком должно быть равно $6^0$, то есть:
$$2 \sin ^{2} (x) - 3 \sin (x) - 1 = 1$$

Для решения полученного уравнения введем замену переменной $t = \sin (x)$, где $|t| \le 1$.
Получаем квадратное уравнение: $2 t^{2} - 3 t - 2 = 0$.
Найдем его корни через дискриминант или по теореме Виета:
$t_{1} = 2$ или $t_{2} = - 0,5$.
Значение $t = 2$ выходит за пределы области значений синуса, поэтому оставляем только $t = - \frac{1}{2}$.

Выполним обратный переход к переменной $x$:
$\sin (x) = - \frac{1}{2}$
Отсюда получаем две серии решений:
$$\left[\begin{matrix} x = -\frac{\pi}{6} + 2 \pi n \\ x = -\frac{5\pi}{6} + 2 \pi k \end{matrix}\right. k, n \in \mathbb{Z}$$
(что эквивалентно записям $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$).

б) Произведем отбор корней, принадлежащих заданному отрезку, используя тригонометрический круг:

Указанному промежутку соответствует единственная точка:
$x = - 2 \pi - \frac{\pi}{6} = - \frac{13 \pi}{6}$.

Критерии оценивания:
— 2 балла: Верно выполнены оба пункта задания.
— 1 балл: Правильно решен только пункт а), либо допущена одна вычислительная ошибка, но логика решения обоих пунктов сохранена.
— 0 баллов: Решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: а) $\frac{7 \pi}{6} + 2 \pi k, \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$; б) $- \frac{13 \pi}{6}$

Источник: ФИПИ