а) Решим уравнение:

$$\log_5(2\sin^2 x - \sin 2x + 11) = 1.5 \log_5 9$$

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифмов:

$$1.5 \log_5 9 = \log_5 (9^{1.5}) = \log_5 (3^2)^{1.5} = \log_5 3^3 = \log_5 27$$

Теперь исходное уравнение примет вид:

$$\log_5(2\sin^2 x - \sin 2x + 11) = \log_5 27$$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:

$$2\sin^2 x - 2\sin x \cos x + 11 = 27$$

$$2\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 16 = 0$$

Разделим всё уравнение на 2 и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством ($8 = 8\sin^2 x + 8\cos^2 x$):

$$\sin^2 x - \sin x \cos x - 8(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0$$

$$-7\sin^2 x - \sin x \cos x - 8\cos^2 x = 0$$

$$7\sin^2 x + \sin x \cos x + 8\cos^2 x = 0$$

Разделим обе части на $\cos^2 x$ (заметим, что если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно):

$$7\text{tg}^2 x + \text{tg } x + 8 = 0$$

Рассмотрим квадратное уравнение относительно $t = \text{tg } x$:

$$7t^2 + t + 8 = 0$$

Дискриминант данного уравнения $D = 1^2 - 4 \cdot 7 \cdot 8 = 1 - 224 = -223$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Примечание: Внимательно проверьте условие задачи, если в исходных данных были иные коэффициенты.

б) Отбор корней:

Поскольку в пункте (а) уравнение не имеет решений, на заданном промежутке корней также не будет.

Ответ: а) решений нет; б) решений нет.

Источник: ФИПИ