Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Логарифмические уравнения

а) Решите уравнение $\log _{2} \left(4 x^{4} + 56\right) = 2 + \log _{\sqrt{2}} \left(\sqrt{7 x^{2} + 2}\right) .$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- 1{,}7 ; 1{,}8\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

а) Решим уравнение:

$\log_5(2\sin^2 x - \sin 2x + 11) = 1.5 \log_5 9$

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифмов:

$1.5 \log_5 9 = \log_5 (9^{1.5}) = \log_5 (3^2)^{1.5} = \log_5 3^3 = \log_5 27$

Теперь исходное уравнение примет вид:

$\log_5(2\sin^2 x - \sin 2x + 11) = \log_5 27$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:

$2\sin^2 x - 2\sin x \cos x + 11 = 27$

$2\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 16 = 0$

Разделим всё уравнение на 2 и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством ( $8 = 8\sin^2 x + 8\cos^2 x$ ):

$\sin^2 x - \sin x \cos x - 8(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0$

$-7\sin^2 x - \sin x \cos x - 8\cos^2 x = 0$

$7\sin^2 x + \sin x \cos x + 8\cos^2 x = 0$

Разделим обе части на $\cos^2 x$ (заметим, что если $\cos x = 0$ , то и $\sin x = 0$ , что невозможно):

$7\text{tg}^2 x + \text{tg } x + 8 = 0$

Рассмотрим квадратное уравнение относительно $t = \text{tg } x$ :

$7t^2 + t + 8 = 0$

Дискриминант данного уравнения $D = 1^2 - 4 \cdot 7 \cdot 8 = 1 - 224 = -223$ . Так как $D < 0$ , уравнение не имеет действительных корней.

Примечание: Внимательно проверьте условие задачи, если в исходных данных были иные коэффициенты.

б) Отбор корней:

Поскольку в пункте (а) уравнение не имеет решений, на заданном промежутке корней также не будет.

Ответ: а) решений нет; б) решений нет.

Источник: ФИПИ