Задание №18 — Уравнения с параметром

Рассмотрим систему уравнений: $$\begin{cases} (x-a)^2 + (y-a)^2 = 2a, \\ x + y = a^2 + 2. \end{cases}$$ Первое уравнение при $a > 0$ задает окружность с центром в точке $C(a; a)$ и радиусом $R = \sqrt{2a}$. Если $a = 0$, уравнение вырождается в точку $(0; 0)$. При $a < 0$ решений в действительных числах нет. Второе уравнение описывает прямую $y = -x + a^2 + 2$.

Система будет иметь единственное решение в том случае, если прямая касается окружности. Это происходит, когда расстояние $d$ от центра окружности $C(a; a)$ до прямой $x + y - a^2 - 2 = 0$ совпадает с радиусом $R$.

Воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой: $$d = \frac{|a + a - a^2 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2a - a^2 - 2|}{\sqrt{2}}.$$ Условие касания $d = R$ принимает вид: $$\frac{|a^2 - 2a + 2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2a}.$$ Возведем обе части в квадрат (учитывая, что $a \ge 0$): $$\frac{(a^2 - 2a + 2)^2}{2} = 2a \iff (a^2 - 2a + 2)^2 = 4a.$$ Заметим, что выражение под квадратом $a^2 - 2a + 2 = (a-1)^2 + 1$ всегда положительно. Раскроем скобки: $$a^4 + 4a^2 + 4 - 4a^3 + 4a^2 - 8a = 4a \iff a^4 - 4a^3 + 8a^2 - 12a + 4 = 0.$$ Методом подбора или разложения на множители находим корни. Заметим, что при $a = 2$: $$16 - 32 + 32 - 24 + 4 = -4 \neq 0.$$ Проверим значение $a = \phi$. Перепишем уравнение как $(a^2 - 2a + 2)^2 - (2\sqrt{a})^2 = 0$. Для упрощения поиска корней заметим, что уравнение можно представить в виде: $$(a^2 - 4a + 2)(a^2 + 2) = 0.$$ Так как $a^2 + 2 > 0$ для любых $a$, остается решить уравнение: $$a^2 - 4a + 2 = 0.$$ Находим дискриминант: $D = 16 - 8 = 8$. Корни уравнения: $a = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$. Оба значения положительны, что удовлетворяет условию существования окружности.

Ответ: $2 - \sqrt{2}; 2 + \sqrt{2}$.

Критерии оценивания:
• 4 балла: Задача решена полностью, получен верный ответ с необходимым обоснованием.
• 3 балла: Ход решения правильный, но допущена одна арифметическая ошибка, либо логика изложения недостаточно полная.
• 2 балла: Использован верный метод решения, но допущена одна существенная ошибка (не вычислительного характера).
• 1 балл: Найдены лишь некоторые подходящие значения параметра или сделаны начальные верные шаги при наличии нескольких ошибок.
• 0 баллов: Решение не соответствует ни одному из указанных выше требований.

Источник: ФИПИ