а) Пусть $SO$ — высота правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$, где $O$ — центр квадрата $ABCD$. Точка $M$ делит ребро $SC$ в отношении $SM:MC = 1:2$. Плоскость $\alpha$, проходящая через точки $A$ и $M$ параллельно $BD$, пересекает диагональную плоскость $ASC$ по прямой $AM$. Так как $BD \perp (ASC)$, любая прямая в плоскости $\alpha$, параллельная $BD$, будет перпендикулярна плоскости $ASC$. Пусть $L$ — точка пересечения $AM$ и $SO$. Проведём через $L$ прямую $PQ \parallel BD$ (где $P \in SB$, $Q \in SD$). Тогда сечение $APMQ$ — искомое.

Рассмотрим треугольник $ASC$. По теореме Менелая для $\triangle SOC$ и прямой $AM$: $$\frac{SL}{LO} \cdot \frac{OA}{AC} \cdot \frac{CM}{MS} = 1$$ Учитывая, что $OA/AC = 1/2$ и $CM/MS = 2/1$, получаем: $$\frac{SL}{LO} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} = 1 \Rightarrow SL = LO$$ Таким образом, точка $L$ является серединой высоты $SO$, что и требовалось доказать.

б) Найдём объём пирамиды $SABCD$. Площадь основания $S_{ABCD} = AB^2 = 36$. Высоту $SO$ найдём из $\triangle SOC$: $OC = \frac{1}{2}AC = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$. $$SO = \sqrt{SC^2 - OC^2} = \sqrt{36 - 18} = 3\sqrt{2}$$ Объём всей пирамиды: $V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$.

Сечение $APMQ$ разбивает пирамиду на две части. Рассмотрим верхнюю часть $SAPMQ$, состоящую из двух пирамид $SAPM$ и $SAQM$. Их объёмы равны в силу симметрии. Отношение объёмов $V_{SAMP} / V_{SABC} = \frac{SA}{SA} \cdot \frac{SM}{SC} \cdot \frac{SP}{SB} = 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$. Поскольку $V_{SABC} = \frac{1}{2} V_{SABCD}$, то $V_{SAMP} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} V_{SABCD} = \frac{1}{12} V_{SABCD}$. Аналогично $V_{SAMQ} = \frac{1}{12} V_{SABCD}$. Тогда объём верхней части: $V_{up} = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6} V_{SABCD} = \frac{1}{6} \cdot 36\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. Объём нижней части: $V_{down} = V_{SABCD} - V_{up} = 36\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$.

Ответ: $30\sqrt{2}$

Критерии оценивания:
Выставление 3 баллов: представлено полностью корректное доказательство пункта а) и получен верный ответ в пункте б).
Выставление 2 баллов: верно решён пункт б), либо при правильном ходе решения пункта б) допущена одна вычислительная ошибка (при наличии доказательства в а).
Выставление 1 балла: доказан только пункт а), ИЛИ при отсутствии доказательства в а) верно решён пункт б), ИЛИ в пункте б) допущена арифметика при верной логике.
Выставление 0 баллов: решение не удовлетворяет ни одному из указанных условий.

Источник: ФИПИ