Задание №15 — Расстояние между прямыми и плоскостями

Решение:
а) Для обоснования перпендикулярности прямых $BC$ и $SA$ достаточно показать, что прямая $BC$ перпендикулярна некоторой плоскости, содержащей прямую $SA$. Проанализируем треугольники $SBC$ и $ABC$. Согласно условию, они равны по трем сторонам, являются равнобедренными и имеют общее основание $BC$. Пусть $H$ — середина отрезка $BC$. Тогда отрезки $SH$ и $AH$ являются медианами в этих треугольниках, а в силу их равнобедренности — и высотами. Таким образом, $BC \perp SH$ и $BC \perp AH$. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $ASH$, она перпендикулярна и самой плоскости $ASH$. Следовательно, прямая $BC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая прямую $SA$, что и требовалось доказать.

б) Искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми является длина их общего перпендикуляра. Построим его: проведем в плоскости $ASH$ высоту $HN$ к стороне $SA$. Так как $HN$ лежит в плоскости $ASH$, а мы ранее доказали, что $BC \perp (ASH)$, то $BC \perp HN$. Таким образом, отрезок $HN$ перпендикулярен обеим прямым ($HN \perp SA$ по построению и $HN \perp BC$ по доказанному), значит, его длина и есть искомое расстояние.

Рассмотрим треугольник $ASH$. Так как он равнобедренный, высота $HN$, проведенная к основанию, также будет являться медианой. Сначала вычислим длину $SH$. Из прямоугольного треугольника $SHB$ по теореме Пифагора получаем: $$SH = \sqrt{SB^2 - BH^2} = \sqrt{17 - 5} = \sqrt{12}.$$ Теперь из прямоугольного треугольника $HNS$ найдем длину $HN$: $$HN = \sqrt{SH^2 - SN^2} = \sqrt{12 - 5} = \sqrt{7}.$$

Критерии оценивания:
3 балла — представлено полностью верное доказательство в пункте а) и получен правильный ответ в пункте б).
2 балла — верно выполнен пункт б), либо пункт а) выполнен полностью, а в пункте б) допущена вычислительная ошибка при верном ходе решения.
1 балл — верно выполнен только пункт а), либо пункт б) выполнен с арифметической ошибкой, либо получен верный ответ в пункте б) без доказательства пункта а).
0 баллов — решение не соответствует указанным критериям.

Ответ: $\sqrt{7}$

Источник: ФИПИ