Задание №8 — Преобразование и вычисление тригонометрических выражений

Решение:
Для вычисления значения выражения $\sqrt{108} \cos ^{2} \frac{\pi}{12} - \sqrt{27}$ сначала вынесем общий множитель за скобки. Заметим, что $\sqrt{108} = \sqrt{4 \cdot 27} = 2\sqrt{27}$. Тогда:
$$\sqrt{108} \cos ^{2} \frac{\pi}{12} - \sqrt{27} = \sqrt{27} \left( 2 \cos ^{2} \frac{\pi}{12} - 1 \right)$$
Учитывая, что $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$, перепишем выражение:
$$3\sqrt{3} \cdot \left( 2 \cos ^{2} \frac{\pi}{12} - 1 \right)$$
Применим тригонометрическую формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$. В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{12}$, следовательно:
$$2 \cos ^{2} \frac{\pi}{12} - 1 = \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{12} \right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Подставим полученное значение в основное выражение:
$$3 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5$$

Ответ: 4,5

Источник: ФИПИ