Решение:
Для нахождения значения тангенса воспользуемся связью между тригонометрическими функциями. Из основного тождества $\sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha = 1$ выразим квадрат синуса:
$$\sin ^{2} \alpha = 1 - \cos ^{2} \alpha$$
Подставим известное значение косинуса в полученную формулу:
$\sin ^{2} \alpha = 1 - \left( - \frac{2 \sqrt{13}}{13} \right)^{2} = 1 - \frac{4 \cdot 13}{169} = 1 - \frac{52}{169} = \frac{117}{169}$.
Отсюда следует, что $\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{117}{169}} = \pm \frac{\sqrt{9 \cdot 13}}{13} = \pm \frac{3 \sqrt{13}}{13}$.
Согласно условию, угол $\alpha$ принадлежит третьей четверти: $\pi < \alpha < \frac{3 \pi}{2}$. В этом промежутке синус принимает отрицательные значения, поэтому выбираем $\sin \alpha = - \frac{3 \sqrt{13}}{13}$.
Теперь вычислим тангенс угла, разделив синус на косинус:
$tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \left( - \frac{3 \sqrt{13}}{13} \right) : \left( - \frac{2 \sqrt{13}}{13} \right) = \frac{3 \sqrt{13}}{13} \cdot \frac{13}{2 \sqrt{13}} = \frac{3}{2} = 1{,}5$.

Ответ: 1,5

Источник: ФИПИ