Задание №7 — Преобразование и вычисление тригонометрических выражений

Решение:
Для нахождения значения тангенса воспользуемся связью между тригонометрическими функциями. Сначала определим косинус угла $\alpha$, используя основное тождество:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
Отсюда выражаем квадрат косинуса:
$$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$$
Подставим известное значение синуса в формулу:
$\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{29}}{29}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 29}{29^2} = 1 - \frac{116}{841} = \frac{725}{841}$
Следовательно, $\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{725}{841}} = \pm \frac{25 \cdot 29}{29} = \pm \frac{5\sqrt{29}}{29}$.
Так как по условию угол $\alpha$ принадлежит первой четверти $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$, косинус в этом промежутке принимает только положительные значения. Значит:
$\cos \alpha = \frac{5\sqrt{29}}{29}$
Теперь вычислим тангенс как отношение синуса к косинусу:
$\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{2\sqrt{29}}{29} : \frac{5\sqrt{29}}{29} = \frac{2\sqrt{29}}{29} \cdot \frac{29}{5\sqrt{29}} = \frac{2}{5} = 0{,}4$

Ответ: 0,4

Источник: ФИПИ