Решение:

Для определения точек экстремума функции вычислим её производную, используя правило дифференцирования произведения: $$y' = (x^2 - 11x + 11)' \cdot e^{x+13} + (x^2 - 11x + 11) \cdot (e^{x+13})'$$ $$y' = (2x - 11)e^{x+13} + (x^2 - 11x + 11)e^{x+13}$$ Вынесем общий множитель $e^{x+13}$ за скобки и упростим выражение: $$y' = e^{x+13}(2x - 11 + x^2 - 11x + 11) = e^{x+13}(x^2 - 9x)$$ Разложим полученный многочлен на множители: $$y' = x(x - 9)e^{x+13}$$ Приравняем производную к нулю. Так как показательная функция $e^{x+13}$ всегда принимает только положительные значения, уравнение сводится к: $$x(x - 9) = 0$$ Откуда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 9$.

Проанализируем знаки производной на числовой прямой. При переходе через точку $x = 9$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, данная точка является точкой минимума функции.

Ответ: 9

Источник: ФИПИ