Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для начала определим производную заданной функции и найдем её критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$$y' = 1{,}5 \sqrt{x} - 9$$ $$1{,}5 \sqrt{x} - 9 = 0 \iff \sqrt{x} = 6 \iff x = 36.$$

Проанализируем поведение функции. Используя метод интервалов для производной, заметим, что при переходе через точку $x = 36$ знак производной меняется с минуса на плюс. Следовательно, $x = 36$ является точкой минимума. Это означает, что на промежутке $[1; 36]$ функция монотонно убывает, а на отрезке $[36; 49]$ — возрастает.

Таким образом, своего наименьшего значения на заданном интервале функция достигает именно в точке $x = 36$:
$y(36) = 36 \cdot \sqrt{36} - 9 \cdot 36 + 23 = 36 \cdot 6 - 324 + 23 = 216 - 324 + 23 = -85.$

Ответ: -85

Источник: ФИПИ