Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Ход решения:
Для начала вычислим производную заданной функции: $$y' = 2x - 28 + \frac{96}{x}$$ Чтобы найти критические точки, приравняем полученное выражение к нулю: $$2x - 28 + \frac{96}{x} = 0$$ Умножив обе части уравнения на $x$ (при условии $x \neq 0$) и разделив на 2, перейдем к квадратному уравнению $x^2 - 14x + 48 = 0$. Корнями данного уравнения являются значения $x_1 = 6$ и $x_2 = 8$.

Проанализируем знаки производной на числовой прямой методом интервалов:

На промежутке $(0; 6)$ производная отрицательна, на $(6; 8)$ — положительна, а при $x > 8$ она снова становится положительной. Таким образом, при переходе через точку $x = 8$ характер изменения функции меняется с убывания на возрастание, что подтверждает: искомая точка минимума — это $x = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ