Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную и определим критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $$y' = 9 - \frac{9}{x + 11}$$ Приравняем полученное выражение к нулю: $$9 - \frac{9}{x + 11} = 0 \implies \frac{9}{x + 11} = 9 \implies x + 11 = 1 \implies x = -10.$$

Анализируя знаки производной методом интервалов, заметим, что в точке $x = -10$ происходит смена знака с минуса на плюс. Следовательно, на промежутке $[-10,5; -10]$ функция монотонно убывает, а на отрезке $[-10; 0]$ — возрастает. Таким образом, $x = -10$ является точкой минимума, в которой функция принимает своё наименьшее значение на заданном интервале: $$y(-10) = 9 \cdot (-10) - 9 \ln(-10 + 11) + 7 = -90 - 9 \ln(1) + 7 = -90 - 0 + 7 = -83.$$

Ответ: -83

Источник: ФИПИ