Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для начала вычислим производную заданной функции и определим её критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$$y' = 12 - \frac{1}{x}$$ Приравняем полученное выражение к нулю: $12 - \frac{1}{x} = 0$, откуда находим корень $x = \frac{1}{12}$. Заметим, что $\frac{1}{12} = \frac{2}{24}$.

Проанализируем поведение функции с помощью знаков производной. На промежутке $[ \frac{1}{24} ; \frac{1}{12} ]$ производная отрицательна, следовательно, функция убывает. На отрезке $[ \frac{1}{12} ; \frac{5}{24} ]$ производная положительна, и функция возрастает. Таким образом, точка $x = \frac{1}{12}$ является точкой минимума.

Следовательно, своего наименьшего значения на заданном отрезке функция достигает именно в этой точке:
$y \left(\frac{1}{12}\right) = 12 \cdot \frac{1}{12} - \ln\left(12 \cdot \frac{1}{12}\right) + 4 = 1 - \ln(1) + 4 = 1 - 0 + 4 = 5.$

Ответ: 5

Источник: ФИПИ