Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную и определим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$$y' = 1{,}5 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 9 = 1{,}5\sqrt{x} - 9$$

Приравняем полученное выражение к нулю: $1{,}5\sqrt{x} = 9$, откуда $\sqrt{x} = 6$, следовательно, $x = 36$.

Проанализируем поведение функции на заданном отрезке. Используя метод интервалов для производной, заметим, что при $x < 36$ производная отрицательна, а при $x > 36$ — положительна. Таким образом, $x = 36$ является точкой минимума. Функция убывает на промежутке $[1; 36]$ и начинает возрастать на $[36; 50]$.

Следовательно, своего наименьшего значения функция достигает именно в точке $x = 36$:

$$y(36) = 36\sqrt{36} - 9 \cdot 36 + 25 = 36 \cdot 6 - 324 + 25 = 216 - 324 + 25 = -83.$$

Ответ: -83

Источник: ФИПИ