Ход решения:

Для нахождения экстремумов функции сначала вычислим её производную и определим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$$y' = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 49) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 49}{x^2} = \frac{x^2 - 49}{x^2}$$

Приравняв числитель к нулю, получаем: $\frac{x^2 - 49}{x^2} = 0$, откуда $x^2 = 49$, то есть $x = 7$ или $x = -7$.

В рассматриваемый промежуток $[1; 19]$ попадает только корень $x = 7$. Проанализируем поведение функции: при переходе через точку $x = 7$ производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, на интервале $[1; 7]$ функция убывает, а на интервале $[7; 19]$ — возрастает.

Таким образом, точка $x = 7$ является точкой минимума, и именно в ней функция принимает своё наименьшее значение на данном отрезке:

$y(7) = \frac{7^2 + 49}{7} = \frac{49 + 49}{7} = \frac{98}{7} = 14.$

Ответ: 14

Источник: ФИПИ