Решение:
Для начала вычислим производную заданной функции и определим её критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$$y' = -3x^2 + 36x$$ Приравняем полученное выражение к нулю: $$-3x^2 + 36x = 0 \implies -3x(x - 12) = 0$$ Отсюда находим корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 12$.

Проанализируем поведение функции, расставив знаки производной на числовой прямой. Применяя метод интервалов, получаем, что точка $x = 0$ является точкой минимума, а $x = 12$ — точкой максимума. Таким образом, на промежутке $[-7; 0]$ функция монотонно убывает, а на отрезке $[0; 10]$ она возрастает. Следовательно, своего наименьшего значения на рассматриваемом интервале функция достигает в точке минимума $x = 0$: $$y(0) = -0^3 + 18 \cdot 0^2 + 19 = 19.$$

Ответ: 19

Источник: ФИПИ