Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную и определим критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $$y' = 2(x - 10)(x + 10) + (x - 10)^2$$ Вынесем общий множитель $(x - 10)$ за скобки: $$y' = (x - 10)(2(x + 10) + (x - 10)) = (x - 10)(2x + 20 + x - 10) = (x - 10)(3x + 10)$$ Приравнивая производную к нулю, получаем корни: $x = -\frac{10}{3}$ и $x = 10$.

Проанализируем поведение функции с помощью знаков производной. Точка $x = 10$ является точкой минимума. Следовательно, на промежутке $[8; 10]$ функция монотонно убывает, а на отрезке $[10; 18]$ — монотонно возрастает. Таким образом, своего наименьшего значения на заданном интервале функция достигает именно в точке $x = 10$: $$y(10) = (10 - 10)^2 \cdot (10 + 10) - 7 = 0 \cdot 20 - 7 = -7$$

Ответ: -7

Источник: ФИПИ