Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную и найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$$y' = 2(x - 9)(x + 4) + (x - 9)^2 = (x - 9)(2(x + 4) + (x - 9)) = (x - 9)(2x + 8 + x - 9) = (x - 9)(3x - 1).$$

Приравнивая производную к нулю, получаем корни: $x = 9$ и $x = \frac{1}{3}$.

Проанализируем поведение функции на заданном отрезке. Используя метод интервалов, определим знаки производной. Точка $x = 9$ является точкой минимума. Следовательно, на интервале $[7; 9]$ функция монотонно убывает, а на интервале $[9; 16]$ — монотонно возрастает.

Таким образом, своего наименьшего значения функция достигает именно в точке $x = 9$:

$y(9) = (9 - 9)^2(9 + 4) - 4 = 0 \cdot 13 - 4 = -4.$

Ответ: -4

Источник: ФИПИ