Решение:
Для начала вычислим производную заданной функции: $y' = 3x^2 - 2x - 8$. Чтобы найти критические точки, приравняем полученное выражение к нулю: $$3x^2 - 2x - 8 = 0$$ Решая данное квадратное уравнение, получаем корни: $x_1 = -\frac{4}{3}$ и $x_2 = 2$.

Проанализируем поведение функции на заданном отрезке. Используя метод интервалов для производной, заметим, что точка $x = 2$ является точкой минимума. Следовательно, на промежутке $[1; 2]$ функция монотонно убывает, а на интервале $[2; 7]$ начинает возрастать. Из этого следует, что своего наименьшего значения функция достигает именно в точке $x = 2$: $$y(2) = 2^3 - 2^2 - 8 \cdot 2 + 4 = 8 - 4 - 16 + 4 = -8.$$

Ответ: -8

Источник: ФИПИ