Ход решения:

Для нахождения экстремумов и исследования поведения функции вычислим её производную: $$y' = (101x - 99 \sin x + 63)' = 101 - 99 \cos x.$$ Приравняем полученное выражение к нулю, чтобы найти критические точки: $$101 - 99 \cos x = 0 \implies \cos x = \frac{101}{99}.$$ Так как значение $\frac{101}{99}$ больше единицы, а область значений косинуса ограничена отрезком $[-1; 1]$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Заметим, что производная $y' = 101 - 99 \cos x$ всегда принимает положительные значения, поскольку максимальное значение вычитаемого $99 \cos x$ равно $99$, что меньше $101$. Следовательно, функция $y(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Для монотонно возрастающей функции на заданном отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ наибольшее значение достигается на его правой границе, то есть при $x = 0$:

$$y(0) = 101 \cdot 0 - 99 \sin 0 + 63 = 0 - 0 + 63 = 63.$$

Ответ: 63

Источник: ФИПИ