Решение:
Для начала определим производную заданной функции и найдем точки, в которых она обращается в нуль:
$$y' = -111 \sin x + 113$$
Решим уравнение $-111 \sin x + 113 = 0$. Отсюда следует, что $\sin x = \frac{113}{111}$. Поскольку полученное значение $\frac{113}{111}$ больше $1$, данное уравнение не имеет действительных корней.
Заметим, что производная $y'$ принимает только положительные значения при любых $x$, так как $\sin x$ не превосходит $1$. Это означает, что функция монотонно растет на всей области определения. Следовательно, на заданном отрезке своего минимума функция достигает в левом конце интервала, то есть при $x = 0$:
$$y(0) = 111 \cos 0 + 113 \cdot 0 + 69 = 111 \cdot 1 + 0 + 69 = 180.$$

Ответ: 180

Источник: ФИПИ