Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную и определим точки, в которых она обращается в нуль: $$y' = -69 \sin x + 71$$ Приравняем полученное выражение к нулю: $$-69 \sin x + 71 = 0 \implies \sin x = \frac{71}{69}$$ Так как значение $\frac{71}{69}$ больше единицы, данное уравнение не имеет решений, поскольку область значений синуса — отрезок $[-1; 1]$.

Заметим, что производная $y' = 71 - 69 \sin x$ всегда принимает положительные значения (так как максимальное значение $69 \sin x$ равно $69$, что меньше $71$). Следовательно, функция $y$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Для возрастающей функции на заданном отрезке наименьшее значение достигается в его левой границе, то есть при $x = 0$: $$y(0) = 69 \cos 0 + 71 \cdot 0 + 48 = 69 \cdot 1 + 0 + 48 = 117$$

Ответ: 117

Источник: ФИПИ