Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Ход решения:
Для начала вычислим производную заданной функции, используя правило дифференцирования частного: $y' = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 25) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 25}{x^2} = \frac{x^2 - 25}{x^2}$.
Далее найдем критические точки, приравняв полученную производную к нулю: $$\frac{x^2 - 25}{x^2} = 0 \implies x^2 - 25 = 0 \implies x = \pm 5.$$

Рассматриваемому промежутку $[-12; -1]$ принадлежит только корень $x = -5$. Проанализируем поведение функции: при переходе через значение $x = -5$ производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, на интервале $[-12; -5]$ функция монотонно растет, а на интервале $[-5; -1]$ — убывает. Таким образом, точка $x = -5$ является точкой максимума.

Наибольшее значение функции на заданном отрезке достигается именно в этой точке:
$y(-5) = \frac{(-5)^2 + 25}{-5} = \frac{25 + 25}{-5} = \frac{50}{-5} = -10.$

Ответ: -10

Источник: ФИПИ