Задание №20 — Свойства чисел

Разбор задачи:
а) Приведём пример подходящего набора чисел. Если мы возьмём числа 2009, 11 и 2, то условие задачи будет выполнено, так как сумма цифр 2009 равна $2+0+0+9=11$, сумма цифр 11 равна $1+1=2$, а итоговая сумма всех трёх чисел составляет $2009 + 11 + 2 = 2022$.
б) Вспомним признак делимости на 3: любое натуральное число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 3. Из этого следует, что все три числа в последовательности должны иметь один и тот же остаток от деления на 3. Если сложить три числа с одинаковыми остатками, их общая сумма обязательно будет кратна 3. Однако число 2021 на 3 не делится (сумма его цифв $2+0+2+1=5$). Таким образом, получить сумму 2021 невозможно.
в) Проанализируем возможные значения чисел. Максимальная сумма цифр для трёхзначного числа составляет 27 (у числа 999). Если сумма цифр некоторого числа равна 2, то само это число может быть только 2, 11 или 20. Значит, в нашей тройке второе число (которое является суммой цифр первого трёхзначного) — это либо 11, либо 20. Нам нужно посчитать, сколько существует трёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 11 или 20.
1. Посчитаем количество трёхзначных чисел с суммой цифр 11:
— Если сотни равны 1, то возможны варианты от 119 до 191 (всего 9 чисел);
— Если сотни равны 2, то варианты от 209 до 290 (всего 10 чисел);
— Если сотни равны 3, то варианты от 308 до 380 (всего 9 чисел);
— Далее количество вариантов уменьшается: для сотен 4 их будет 8, для 5 — 7, для 6 — 6, для 7 — 5, для 8 — 4, для 9 — 3.
Итого для суммы 11: $9 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 = 61$ вариант.
2. Посчитаем количество трёхзначных чисел с суммой цифр 20:
— При первой цифре 1 таких чисел нет (макс. сумма $1+9+9=19$);
— При первой цифре 2 есть 1 число (299);
— При первой цифре 3 есть 2 числа (389, 398);
— Продолжая логику, для первой цифры 4 будет 3 числа, для 5 — 4, для 6 — 5, для 7 — 6, для 8 — 7, для 9 — 8.
Итого для суммы 20: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$ вариантов.
Общее количество искомых троек чисел: $61 + 36 = 97$.

Критерии оценивания:
4 балла — полностью верные и обоснованные решения всех трёх пунктов.
3 балла — обоснованно решены пункты (а и в) или (б и в).
2 балла — верно решён только пункт в, либо пара пунктов а и б.
1 балл — представлено верное решение только для пункта а или только для пункта б.
0 баллов — решение не соответствует указанным критериям.

Ответ: а) да; б) нет; в) 97

Источник: ФИПИ