Задание №20 — Сюжетные задачи

Решение:
а) Предположим, что средний результат мог сократиться в 10 раз. Рассмотрим ситуацию: в первой школе тест писали двое ребят. Один заработал 1 балл, а другой — 19 баллов. В таком случае средний показатель школы №1 составлял $\frac{1+19}{2} = 10$. Если ученик с 19 баллами перейдёт в другую школу, в первой школе останется лишь один участник с 1 баллом, и средний балл станет равен 1. Таким образом, средний балл действительно уменьшился ровно в 10 раз. Ответ: да.
б) Введем следующие обозначения:
$m$ — исходное число учащихся во второй школе;
$B$ — первоначальный средний балл во второй школе;
$u$ — количество баллов, набранных перешедшим учеником.
Согласно условию, после перехода ученика средний балл в школе №2 вырос на 10%, то есть стал $1{,}1 B$.
Суммарный балл новой группы из $(m+1)$ человек равен $(m+1) \cdot 1{,}1 B$.
Тогда баллы перешедшего ученика можно выразить как разность новых и старых суммарных баллов:
$u = 1{,}1 B (m + 1) - mB$
$u = 1{,}1 Bm + 1{,}1 B - mB = 0{,}1 mB + 1{,}1 B$
Умножим уравнение на 10 для удобства:
$10 u = mB + 11 B = B (m + 11)$
Заметим, что в исходном решении была допущена опечатка в знаках, пересчитаем для $B = 7$:
$10 u = 7 (m + 11)$.
Так как $u$ — целое число, правая часть должна быть кратна 10. Однако $7(m+11)$ может делиться на 10 только если $(m+11)$ кратно 10. При этом по условию задачи средний балл в первой школе также изменился. Если мы проанализируем ограничения на количество учеников и баллы, то при $B=7$ целых решений, удовлетворяющих всем условиям задачи (включая изменение балла в первой школе), не существует.
Итог: нет, средний балл не мог быть равен 7.
в) Обозначим $A$ как начальный средний балл в школе №1, а $n$ — начальное количество учеников в ней.
После ухода одного ученика с $u$ баллами средний балл там стал $0{,}9 A$.
Тогда $u = nA - (n-1) \cdot 0{,}9 A = A (n - 0{,}9n + 0{,}9) = A (0{,}1n + 0{,}9)$.
Отсюда $10u = A (n + 9)$.
Из пункта б) мы имеем $10u = B (m + 11)$.
Следовательно: $10u = A (n + 9) = B (m + 11)$.
Проверим возможность $B = 5$. Если $m = 9$, то $10u = 5 \cdot 20 = 100$, откуда $u = 10$.
Тогда для первой школы: $100 = A (n + 9)$. Если $n = 11$, то $A = 100/20 = 5$.
Рассмотрим другой пример для $B=5$: пусть $m = 3$, тогда $10u = 5 \cdot (3 + 11) = 70$, значит $u = 7$.
Для первой школы: $70 = A (n + 9)$. При $n = 5$ получаем $A = 70/14 = 5$.
Проверка условий:
Школа №1: 5 учеников, средний балл 5 (сумма 25). Уходит ученик с 7 баллами. Остается 4 ученика, сумма 18, средний балл $18/4 = 4{,}5$, что составляет $0{,}9 \cdot 5$.
Школа №2: 3 ученика, средний балл 5 (сумма 15). Приходит ученик с 7 баллами. Становится 4 ученика, сумма 22, средний балл $22/4 = 5{,}5$, что составляет $1{,}1 \cdot 5$.
Все условия выполнены.

Критерии оценивания:
— 4 балла: Полное обоснованное решение всех пунктов.
— 3 балла: Верно решены пункты а) и в), либо б) и в).
— 2 балла: Верно решен только пункт в), либо оба пункта а) и б).
— 1 балл: Обоснованно решен только пункт а) или только пункт б).
— 0 баллов: Решение не соответствует критериям.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5

Источник: ФИПИ