Задание №18 — Окружности и системы окружностей

Решение:

а) Обозначим центры данных окружностей как $O_{1}$ и $O_{2}$.
Построим общую касательную к окружностям в точке их касания $K$, которая пересекает отрезок $AB$ в точке $M$.
Согласно свойству отрезков касательных, выходящих из одной точки: $AM = MK$ и $MK = MB$.
В треугольнике $AKB$ отрезок $KM$ является медианой, при этом $KM = \frac{1}{2} AB$. Следовательно, $\triangle AKB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$.
Отсюда получаем: $\angle AKB = 90^{\circ}$. Смежные с ним углы также прямые: $\angle AKD = 90^{\circ}$ и $\angle BKC = 90^{\circ}$.

Так как треугольники $DAK$ и $KCB$ прямоугольные и опираются на хорды $AD$ и $BC$ соответственно, то эти хорды являются диаметрами окружностей.
Поскольку радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной, имеем $AD \perp AB$ и $BC \perp AB$. Из перпендикулярности двух прямых одной и той же прямой следует их параллельность: $AD \parallel BC$.

б) По условию радиус первой окружности $O_{1} D = 4$, значит её диаметр $AD = 8$.
Радиус второй окружности $O_{2} B = 1$, следовательно её диаметр $BC = 2$.
Прямоугольные треугольники $ADK$ и $KBC$ подобны по острому углу. Коэффициент подобия равен отношению диаметров: $k = \frac{AD}{BC} = \frac{8}{2} = 4$.
Тогда отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{DKA}}{S_{BKC}} = 4^2 = 16$.
Пусть $S_{BKC} = S$, тогда $S_{DKA} = 16S$.
Треугольники $ADK$ и $AKB$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $A$, поэтому их площади относятся как длины оснований: $\frac{S_{ADK}}{S_{AKB}} = \frac{DK}{KB} = k = 4$.
Отсюда $S_{AKB} = \frac{S_{ADK}}{4} = \frac{16S}{4} = 4S$.

Четырехугольник $ABCD$ — трапеция, в которой площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам ($\triangle AKB$ и $\triangle DKC$), равны. Значит, $S_{DKC} = S_{AKB} = 4S$.
Общая площадь трапеции: $S_{ABCD} = S_{DKA} + S_{BKC} + S_{AKB} + S_{DKC} = 16S + S + 4S + 4S = 25S$.

Найдем площадь трапеции иным способом. Опустим перпендикуляр $O_{2}H$ из центра меньшей окружности на радиус $O_{1}A$.
Расстояние между центрами $O_{1}O_{2} = 4 + 1 = 5$.
Длина отрезка $O_{1}H = O_{1}A - HA = O_{1}A - O_{2}B = 4 - 1 = 3$.
По теореме Пифагора в $\triangle O_{1}HO_{2}$: $O_{2}H = \sqrt{O_{1}O_{2}^2 - O_{1}H^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$.
Высота трапеции $AB$ равна длине $O_{2}H$, то есть $AB = 4$.
$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB = \frac{8 + 2}{2} \cdot 4 = 20$.
Приравняем выражения для площади: $25S = 20$, откуда $S = \frac{20}{25} = 0,8$.
Искомая площадь треугольника $AKB = 4S = 4 \cdot 0,8 = 3,2$.

Ответ: 3,2

Источник: ФИПИ