Разбор решения:

$2 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos 2 x = \sqrt{3} \cos х + 1$

а) Для начала преобразуем первое слагаемое, используя формулу синуса суммы $\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, а косинус двойного угла распишем через разность квадратов:

$2 \left( \sin х \cdot \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{3} \right) + \cos ^{2} x - \sin ^{2} x = \sqrt{3} \cos х + 1$

Подставим табличные значения тригонометрических функций $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$2 \left( \sin х \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \cos ^{2} x - \sin ^{2} x = \sqrt{3} \cos х + 1$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\sin х + \sqrt{3} \cos x + \cos ^{2} x - \sin ^{2} x = \sqrt{3} \cos х + 1$

Заметим, что слагаемое $\sqrt{3} \cos x$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому оно взаимно уничтожается:

$\sin х + \cos ^{2} x - \sin ^{2} x = 1$

Применим основное тригонометрическое тождество, заменив $\cos ^{2} x$ на $1 - \sin ^{2} x$:

$\sin х + 1 - \sin ^{2} x - \sin ^{2} x = 1$

Приведем подобные слагаемые и перенесем всё в одну сторону:

$- 2 \sin ^{2} x + \sin x = 0$

$2 \sin ^{2} x - \sin x = 0$

Разложим левую часть на множители, вынеся $\sin x$ за скобку:

$\sin x ( 2 \sin x - 1 ) = 0$

Отсюда получаем совокупность двух простейших уравнений:

$\left[\begin{matrix} \sin x = 0 \\ \sin x = \frac{1}{2} \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} x = \pi k , k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi m , m \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

б) Выполним отбор корней на заданном промежутке $\left[- 3 \pi ; - \frac{3 \pi}{2}\right]$. Воспользуемся методом аналитического перебора через двойные неравенства:

1) Для серии $x = \pi k$:
$- 3 \pi \leq \pi k \leq - \frac{3 \pi}{2}$. Разделим на $\pi$:
$- 3 \leq k \leq - 1{,}5$. Целые значения $k$:
Если $k = - 3$, то $x = - 3 \pi$;
Если $k = - 2$, то $x = - 2 \pi$.

2) Для серии $x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi n$:
$- 3 \pi \leq \frac{\pi}{6} + 2 \pi n \leq - \frac{3 \pi}{2}$. Умножим на $\frac{6}{\pi}$:
$- 18 \leq 1 + 12 n \leq - 9$. Вычтем единицу:
$- 19 \leq 12 n \leq - 10$. Разделим на $12$:
$- 1{,}58... \leq n \leq - 0{,}83...$. Единственное целое $n = - 1$:
При $n = - 1$ получаем $x = \frac{\pi}{6} - 2 \pi = - \frac{11 \pi}{6}$.

3) Для серии $x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi m$:
$- 3 \pi \leq \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi m \leq - \frac{3 \pi}{2}$. Умножим на $\frac{6}{\pi}$:
$- 18 \leq 5 + 12 m \leq - 9$. Вычтем пять:
$- 23 \leq 12 m \leq - 14$. Разделим на $12$:
$- 1{,}91... \leq m \leq - 1{,}16...$. В данном интервале целых чисел нет, $m \in \emptyset$.

Ответ:
а) $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}; x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, m \in \mathbb{Z}$;
б) $- 3 \pi; - 2 \pi; - \frac{11 \pi}{6}$.

Источник: ФИПИ