Вариант 1 · Июль 2026

Решение:
Исходное уравнение: $2 \sin ^{2} x + \sqrt{2} \sin \left(2 \pi - x\right) + \sqrt{3} \sin 2 x = \sqrt{6} \cos x$.
а) Применим формулу приведения $\sin(2\pi - x) = -\sin x$ и разложим синус двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Перенесем все слагаемые в левую часть:
$2 \sin ^{2} x - \sqrt{2} \sin x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \sqrt{6} \cos x = 0$.
Воспользуемся методом группировки:
$\sin x (2 \sin x - \sqrt{2}) + \sqrt{3} \cos x (2 \sin x - \sqrt{2}) = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$(2 \sin x - \sqrt{2})(\sin x + \sqrt{3} \cos x) = 0$.
Данное уравнение распадается на два случая:
$\left[\begin{matrix} 2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \\ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 0 \end{matrix}\right.$
Решим каждое из них:
1) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) Разделим обе части уравнения $\sin x = -\sqrt{3} \cos x$ на $\cos x$ (заметим, что если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно по основному тригонометрическому тождеству):
$\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$, следовательно, $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя результаты, получаем совокупность решений:
$\left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k \\ x = \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k \\ x = - \frac{\pi}{3} + \pi k \end{matrix}\right. , k \in \mathbb{Z}$.
б) Выполним отбор корней на заданном промежутке $\left[- \pi ; \frac{\pi}{2}\right]$. Для этого воспользуемся единичной окружностью:

Указанному отрезку соответствуют значения: $x_{1} = \frac{\pi}{4}$ и $x_{2} = - \frac{\pi}{3}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + 2 \pi k, \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k, - \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $- \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{4}$.

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Рассмотрим правильную треугольную призму $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$. В её верхнем основании лежит равносторонний треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$. Проведём в нём высоту $C_{1}K$ к стороне $A_{1}B_{1}$. Так как треугольник правильный, высота $C_{1}K$ также является медианой и биссектрисой. Поскольку прямая $C_{1}K$ перпендикулярна прямой $A_{1}B_{1}$ и при этом $C_{1}K$ перпендикулярна боковому ребру $AA_{1}$ (так как ребро перпендикулярно плоскости основания), то прямая $C_{1}K$ перпендикулярна всей плоскости боковой грани $(ABB_{1}A_{1})$. Любая плоскость, содержащая прямую, перпендикулярную другой плоскости, сама будет перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, плоскость $\alpha$, проходящая через $C_{1}K$ (то есть плоскость $MKC_{1}$), перпендикулярна грани $(ABB_{1}A_{1})$, что и требовалось доказать.

б) Из доказанного выше следует, что $C_{1}K \perp (ABB_{1}A_{1})$. Так как прямая $MK$ лежит в плоскости боковой грани, то $C_{1}K \perp MK$. Таким образом, треугольник $MKC_{1}$ является прямоугольным. Заметим, что искомое расстояние от точки $A_{1}$ до плоскости $\alpha$ (плоскости $MKC_{1}$) можно найти в плоскости боковой грани. Проведём высоту $A_{1}H$ в прямоугольном треугольнике $MA_{1}K$ к его гипотенузе $MK$. Отрезок $A_{1}H$ и будет являться искомым расстоянием, так как он перпендикулярен $MK$ по построению и перпендикулярен $C_{1}K$ (поскольку $C_{1}K$ перпендикулярна всей плоскости грани).
Вычислим необходимые длины сторон в $\Delta MA_{1}K$:
1) Точка $K$ — середина $A_{1}B_{1}$, значит, $A_{1}K = \frac{1}{2} A_{1}B_{1} = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$.
2) По условию $M$ делит ребро $AA_{1}$ в отношении $3:1$ считая от точки $A$. Значит, отрезок $A_{1}M$ составляет $\frac{1}{4}$ от всей высоты призмы: $A_{1}M = \frac{1}{4} AA_{1} = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$.
Найдем гипотенузу $MK$ по теореме Пифагора:
$$MK = \sqrt{A_{1}K^2 + A_{1}M^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}.$$
Высоту $A_{1}H$ прямоугольного треугольника $MA_{1}K$ найдем через его катеты и гипотенузу:
$$A_{1}H = \frac{A_{1}K \cdot A_{1}M}{MK} = \frac{8 \cdot 4}{4\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5}.$$

Ответ: $\frac{8\sqrt{5}}{5}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Исходное неравенство: $\frac{4}{3^{x} - 27} \geq \frac{1}{3^{x} - 9}$.
Для упрощения вычислений введем новую переменную, пусть $3^{x} = t$, где $t > 0$.
Тогда неравенство примет вид:
$\frac{4}{t - 27} \geq \frac{1}{t - 9}$.
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю:
$\frac{4(t - 9) - (t - 27)}{(t - 27)(t - 9)} \geq 0$;
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{4t - 36 - t + 27}{(t - 27)(t - 9)} \geq 0$;
$\frac{3t - 9}{(t - 27)(t - 9)} \geq 0$.
Решим полученное рациональное неравенство относительно $t$ методом интервалов:

Из чертежа видно, что решениями для $t$ являются промежутки: $t \in [ 3 ; 9 ) \cup ( 27 ; + \infty )$.
Выполним обратный переход к переменной $x$, составив совокупность систем:
$\left[\begin{matrix} \begin{cases} t \geq 3 \\ t < 9 \end{cases} \\ t > 27 \end{matrix}\right.$
Подставим $3^x$ вместо $t$:
$\left[\begin{matrix} \begin{cases} 3^x \geq 3^1 \\ 3^x < 3^2 \end{cases} \\ 3^x > 3^3 \end{matrix}\right.$
Так как основание показательной функции $3 > 1$, знаки неравенств для показателей степеней сохраняются:
$\left[\begin{matrix} \begin{cases} x \geq 1 \\ x < 2 \end{cases} \\ x > 3 \end{matrix}\right.$
Таким образом, получаем итоговые интервалы для $x$.

Ответ: $[ 1 ; 2 ) \cup ( 3 ; + \infty )$

Источник: ФИПИ

Решение:
Обозначим через $S$ первоначальный капитал на накопительном счете. Срок вклада составляет 3 года, процентная ставка $r = 20 \% .$ Введем коэффициент роста $k = 1 + \frac{20}{100} = 1{,}2 .$ Пусть $x$ — фиксированная сумма, которую вкладчик снимает ежегодно.

Проследим за изменением состояния счета в течение трех лет:

Исходя из условия, что после третьего изъятия средств баланс счета стал нулевым, сформируем уравнение:
$$Sk^3 - x(k^2 + k + 1) = 0$$ Отсюда выразим величину ежегодного снятия $x$: $$x = \frac{S \cdot k^3}{k^2 + k + 1}$$ Подставим известные значения $S = 819000$ и $k = 1{,}2$: $$x = \frac{819000 \cdot 1{,}728}{1{,}44 + 1{,}2 + 1} = \frac{819000 \cdot 1{,}728}{3{,}64} = 388800.$$

Ответ: 388800

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Обозначим точку пересечения прямых $AM$ и $CN$ как $L$.

Пусть величина угла $A$ равна $2\alpha$. Поскольку треугольник $ABC$ является прямоугольным, угол $B$ будет равен $90^\circ - 2\alpha$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHB$, где $CH$ — высота. В нём угол $HCB$ вычисляется как $90^\circ - \angle B$.
Следовательно, $\angle HCB = 90^\circ - (90^\circ - 2\alpha) = 2\alpha$.
Заметим, что $\angle HCB = \angle A = 2\alpha$. Так как отрезок $CN$ является биссектрисой угла $HCB$, получаем $\angle HCN = \angle NCB = \alpha$.
Тогда для треугольника $ACL$ имеем: $\angle ACL = \angle ACB - \angle NCB = 90^\circ - \alpha$, а $\angle CAL = \alpha$ (так как $AM$ — биссектриса угла $A$).
Сумма углов треугольника дает нам $\angle ALC = 180^\circ - \angle ACL - \angle CAL = 180^\circ - (90^\circ - \alpha) - \alpha = 90^\circ$.
Это означает, что прямые $AM$ и $CN$ перпендикулярны, то есть $AM \perp CN$. Что и требовалось доказать.

б) Из доказанного в пункте (а) следует, что в треугольнике $ANC$ отрезок $AL$ одновременно является высотой и биссектрисой.
Это означает, что $\triangle ANC$ равнобедренный, откуда $AC = AN$ и точка $L$ — середина $CN$ ($CL = LN$).
Так как $AL$ является серединным перпендикуляром к отрезку $CN$, любая точка на $AL$ равноудалена от концов отрезка, значит, $CM = MN$. Аналогично, в треугольнике $CMK$ отрезок $CL$ служит и высотой, и биссектрисой, поэтому $CM = CK$.
Воспользуемся свойством биссектрисы $CK$ для треугольника $ABC$:
$$\frac{CK}{KB} = \frac{AC}{AB}$$
По условию $\sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{3}$.
Следовательно, отношение отрезков $\frac{CK}{KB} = \frac{1}{3}$. Учитывая, что длина катета $CB = 20$, получаем:
$CK = \frac{1}{1+3} \cdot 20 = 5$ и $KB = 15$.
Таким образом, искомая длина $MN = CK = 5$.

Ответ: б) 5

Источник: ФИПИ

Решение:
$a^{2} + ax - 2 x^{2} - 6 a - 3 x + 9 \left|x\right| = 0$
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}x \leq 0 \\ a^{2} + ax - 2 x^{2} - 6 a - 3 x - 9 x = 0\end{matrix} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}x > 0 \\ a^{2} + ax - 2 x^{2} - 6 a - 3 x + 9 x = 0\end{matrix} \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}x \leq 0 \\ a^{2} + ax - 2 x^{2} - 6 a - 12 x = 0\end{matrix} \end{matrix}\right ( 1 ) \\ \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}x > 0 \\ a^{2} + ax - 2 x^{2} - 6 a + 6 x = 0\end{matrix} \end{matrix}\right ( 2 ) \end{matrix}\right.$
$\left(1\right) a^{2} + ax - 6 a - 12 x - 2 x^{2} = 0 ; D > 0$
$a^{2} + \left(x - 6\right) a - 12 x - 2 x^{2} = 0$
$D = \left(x - 6\right)^{2} - 4 \cdot \left(- 12 x - 2 x^{2}\right)$$= x^{2} - 12 x + 36 + 48 x + 8 x^{2} =$$9 x^{2} + 36 x + 36 = \left(3 x + 6\right)^{2}$
$a_{1} = \frac{6 - x + 3 x + 6}{2} = \frac{12 + 2 x}{2} = 6 + x$
$a_{2} = \frac{\cancel{6} - x - 3 x + \cancel{6}}{2} = \frac{- 4 x}{2} = - 2 x .$
$\left(2\right) a^{2} + ax - 2 x^{2} - 6 a + 6 x = 0 ; D > 0$
$a^{2} + ax - 6 a + 6 x - 2 x^{2} = 0$
$a^{2} + \left(x - 6\right) a + 6 x - 2 x^{2} = 0$
$D = \left(x - 6\right)^{2} - 4 \cdot \left(6 x - 2 x^{2}\right) =$$x^{2} - 12 x + 36 - 24 x + 8 x^{2} =$$9 x^{2} - 36 x + 36 = \left(3 x - 6\right)^{2}$
$a_{1} = \frac{6 - x + 3 x - 6}{2} = \frac{2 x}{2} = x$
$a_{2} = \frac{6 - x - 3 x + 6}{2} = \frac{12 - 4 x}{2} = 6 - 2 x$

$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}x \leq 0 \\ \left[\begin{matrix} \begin{matrix}a = 6 + x \\ = - 2 x\end{matrix} \end{matrix}\right.\end{matrix} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}x > 0 \\ \left[\begin{matrix} \begin{matrix}a = x \\ a = 6 - 2 x\end{matrix} \end{matrix}\right.\end{matrix} \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
$a = 6 - 2 x$

Ответ: $( - \infty ; 0 \left]\right. \cap \left\{2\right\} \cup [ 6 ; + \infty )$

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Для подтверждения возможности получения числа 29 приведем конкретную последовательность действий:
$128 \xrightarrow{- 33} 95 \xrightarrow{- 42} 53 \xrightarrow{- 24} 29.$
Здесь на каждом шаге вычитается утроенная сумма цифр текущего числа.

б) Проанализируем свойство делимости. Любое число вида $3 \cdot S(n)$, где $S(n)$ — сумма цифр числа $n$, кратно 3. Если мы прибавляем к числу или вычитаем из него величину, кратную 3, то остаток исходного числа от деления на 3 сохраняется. Следовательно, все числа в цепочке будут иметь тот же остаток при делении на 3, что и начальное число 128.
Разделим 128 на 3: $128 = 3 \cdot 42 + 2$, остаток равен 2. Любое число, полученное из него, также должно давать в остатке 2. Однако число 31 при делении на 3 дает остаток 1 ($31 = 3 \cdot 10 + 1$). Из-за несовпадения остатков получить 31 из 128 невозможно.

в) Попробуем найти минимально возможное натуральное число. Самое маленькое натуральное число — это 1. Но 1 имеет остаток 1 при делении на 3, а наше исходное число 128 имеет остаток 2. Как было доказано в пункте б), остаток измениться не может, поэтому 1 получить нельзя. Следующее по величине число — 2, оно имеет нужный остаток 2. Покажем, что прийти к двойке возможно (достаточно одного примера):
$128 \xrightarrow{- 33} 95 \xrightarrow{- 42} 53 \xrightarrow{+ 24} 77 \xrightarrow{- 42} 35 \xrightarrow{+ 24} 59 \xrightarrow{- 42} 17 \xrightarrow{+ 24} 41 \xrightarrow{- 15} 26 \xrightarrow{- 24} 2.$
Или альтернативный вариант пути:
$128 \xrightarrow{- 33} 95 \xrightarrow{- 42} 53 \xrightarrow{- 24} 29 \xrightarrow{+ 33} 62 \xrightarrow{- 24} 38 \xrightarrow{- 33} 5 \xrightarrow{+ 15} 20 \xrightarrow{+ 6} 26 \xrightarrow{- 24} 2.$

Ответ: а) да; б) нет; в) 2

Источник: ФИПИ