Вариант 10 · Июль 2026

Решение:
а) Исходное уравнение: $4 \cos^{3} x + \sin \left(x - \frac{\pi}{2}\right) = 0$.
Применим формулу приведения: $\sin \left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x$. Тогда уравнение примет вид:
$4 \cos^{3} x - \cos x = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$\cos x (4 \cos^{2} x - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\cos x = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $4 \cos^{2} x - 1 = 0 \Rightarrow \cos^{2} x = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos x = \pm \frac{1}{2}$.
Решая эти простейшие уравнения, получаем:
$\left[\begin{matrix} x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}. \end{matrix}\right.$

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $[\pi; 2\pi]$, используя единичную окружность.

На указанном отрезке лежат следующие значения:
$x_{1} = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4 \pi}{3}$;
$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$;
$x_{3} = 2 \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5 \pi}{3}.$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $\pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $\pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{4 \pi}{3}; \frac{3 \pi}{2}; \frac{5 \pi}{3}$.

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Соединим вершины $A$ и $K$. В плоскости верхней грани через точку $K$ проведём прямую, параллельную ребру $AC$. Пусть эта прямая пересекает ребро $C_1B_1$ в точке $L$. Таким образом, искомым сечением является четырёхугольник $AKLC$.
Поскольку $K$ — середина $A_1B_1$ по условию, а отрезок $KL$ параллелен $A_1C_1$ (так как $KL \parallel AC$ и $AC \parallel A_1C_1$), то согласно теореме Фалеса точка $L$ является серединой ребра $C_1B_1$.
Данная призма $ABCA_1B_1C_1$ правильная, значит, её основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — равносторонние треугольники.
Отсюда следует, что $A_1B_1 = C_1B_1$, а значит, их половины равны: $A_1K = C_1L$. Учитывая равенство боковых рёбер $A_1A = C_1C$, получаем, что прямоугольные треугольники $A_1KA$ и $C_1LC$ равны по двум катетам.
Из равенства треугольников следует $AK = CL$. Отрезок $KL$ является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$, поэтому $KL = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{1}{2} AC$.
Так как боковые стороны $AK$ и $CL$ равны, а основания $KL$ и $AC$ параллельны и не равны, $AKLC$ — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.
б) В основании $ABC$ проведём высоту $BH$. В силу правильности треугольника $ABC$, $BH$ также будет медианой и биссектрисой.
Пусть $M$ — середина верхнего основания трапеции $KL$, а $H$ — середина нижнего основания $AC$.
В равнобедренной трапеции отрезок $MH$, соединяющий середины оснований, перпендикулярен им: $MH \perp AC$.
Плоскости $(ACK)$ и $(BHM)$ пересекаются по прямой $HM$. Следовательно, искомое расстояние от точки $B$ до плоскости сечения — это длина перпендикуляра $BN$, опущенного из $B$ на прямую $HM$.
Рассмотрим треугольник $ABC$: так как $H$ — середина $AC$, то $HA = HC = \frac{1}{2} AC = 2$, при этом $CB = AB = 4$.
По теореме Пифагора находим высоту основания: $HB = \sqrt{CB^2 - HC^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Из прямоугольного треугольника $C_1LC$ по теореме Пифагора вычислим $CL$: $CL = \sqrt{C_1L^2 + CC_1^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Проанализируем трапецию $AKLC$:

Основания равны $KL = 2$ и $AC = 4$.
Опустим высоты $LL_1$ и $KK_1$ на основание $AC$. Четырёхугольник $KLL_1K_1$ является прямоугольником, поэтому $K_1L_1 = KL = 2$.
В треугольнике $AKK_1$: отрезок $AK_1 = \frac{AC - KL}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$.
По теореме Пифагора найдём высоту трапеции: $KK_1 = \sqrt{AK^2 - AK_1^2} = \sqrt{20 - 1} = \sqrt{19}$.
Таким образом, $MH = KK_1 = \sqrt{19}$.
Рассмотрим сечение $HMB_1B$:

В треугольнике $KB_1L$ точка $M$ — середина $KL$. Заметим, что $KB_1 = LB_1 = 2$ и $KL = 2$, то есть треугольник равносторонний.
Его высота $MB_1 = \sqrt{KB_1^2 - KM^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$.
Пусть $M_1$ — проекция точки $M$ на прямую $HB$. Тогда $MB_1BM_1$ — прямоугольник, откуда $M_1B = MB_1 = \sqrt{3}$ и $MM_1 = BB_1 = 4$.
Тогда $HM_1 = HB - M_1B = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Проверим значение $HM$ через треугольник $HMM_1$: $HM = \sqrt{MM_1^2 + HM_1^2} = \sqrt{16 + 3} = \sqrt{19}$. Это совпадает с ранее найденным значением.
Найдём синус угла $MHM_1$: $\sin(\angle MHM_1) = \frac{MM_1}{HM} = \frac{4}{\sqrt{19}}$.
Из прямоугольного треугольника $NHB$ имеем: $\sin(\angle NHB) = \frac{NB}{HB}$.
Так как углы $MHM_1$ и $NHB$ совпадают, получаем уравнение:
$\frac{NB}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{19}}$.
Отсюда $NB = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{8\sqrt{57}}{19}$.

Ответ: $\frac{8 \sqrt{57}}{19}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Исходное неравенство: $7 \log _{12} ( x^{2} - 13 x + 42 ) \leq 8 + \log _{12} \frac{( x - 7 )^{7}}{x - 6}$.
Разложим квадратный трёхчлен на множители: $7 \log _{12} ( ( x - 7 ) ( x - 6 ) ) \leq 8 + \log _{12} \frac{( x - 7 )^{7}}{x - 6}$.
Используя свойства логарифма, внесем коэффициент перед первым логарифмом в показатель степени: $\log _{12} ( ( x - 7 )^{7} ( x - 6 )^{7} ) \leq 8 + \log _{12} \frac{( x - 7 )^{7}}{x - 6}$.
Перенесем логарифмы в левую часть и представим число 8 как логарифм по основанию 12: $\log _{12} ( ( x - 7 )^{7} ( x - 6 )^{7} ) - \log _{12} \frac{( x - 7 )^{7}}{x - 6} \leq \log _{12} 12^{8}$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ): $\left\{\begin{matrix} x^{2} - 13 x + 42 > 0 \\ \frac{(x - 7)^{7}}{x - 6} > 0 \end{matrix}\right.$
Это эквивалентно системе: $\left\{\begin{matrix} (x - 7) (x - 6) > 0 \\ \frac{(x - 7)^{7}}{x - 6} > 0 \end{matrix}\right.$
Решим систему методом интервалов:
Получаем ограничения для переменной: $x \in (-\infty; 6) \cup (7; +\infty)$.
Вернемся к преобразованию неравенства. Применим свойство разности логарифмов (логарифм частного): $\log _{12} \frac{( x - 7 )^{7} ( x - 6 )^{7} \cdot ( x - 6 )}{( x - 7 )^{7}} \leq \log _{12} 12^{8}$.
После сокращения дроби под знаком логарифма имеем: $\log _{12} ( x - 6 )^{8} \leq \log _{12} 12^{8}$, что упрощается до $\log _{12} (x - 6)^{8} \leq 8$.
Вынесем четную степень за знак логарифма, не забывая про модуль: $8 \log _{12} |x - 6| \leq 8$.
Разделим обе части на 8: $\log _{12} |x - 6| \leq 1$.
Перейдем к равносильному неравенству для подлогарифмического выражения: $|x - 6| \leq 12$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству $-12 \leq x - 6 \leq 12$, откуда находим границы: $x_1 = -6$ и $x_2 = 18$.

Решением данного этапа является отрезок $x \in [-6; 18]$.
Теперь найдем пересечение полученного решения с найденными ранее ограничениями:

Ответ: $[-6; 6) \cup (7; 18]$

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:
Обозначим искомую сумму кредита через $S$ (в тыс. рублей).
Процентная ставка составляет $r = 3 \%$ в месяц.
Срок кредитования — $n = 21$ месяц.

Согласно условию, в течение первых 20 месяцев остаток основного долга должен сокращаться равномерно — каждый месяц на 30 тыс. рублей. В последний, 21-й месяц, кредит погашается полностью. Общий объем всех выплат банку составил 1604 тыс. рублей.

Составим таблицу начисления процентов и платежей:

Общая сумма выплат складывается из погашения тела кредита (которое в сумме дает $S$) и начисленных процентов на остаток долга.
Заметим, что остатки долга образуют арифметическую прогрессию. Сумма всех выплат вычисляется по формуле:
$$S + \frac{3}{100} \cdot \frac{S + (S - 600)}{2} \cdot 21 = 1604$$

Проведем последовательные преобразования уравнения:
$S + \frac{3}{100} \cdot (S - 300) \cdot 21 = 1604$
$S + \frac{63(S - 300)}{100} = 1604$
$S + \frac{63S - 18900}{100} = 1604$
Умножим обе части уравнения на 100:
$100S + 63S - 18900 = 160400$
$163S = 160400 + 18900$
$163S = 179300$
$S = 1100$.

Таким образом, первоначальная сумма кредита составляла 1100 тысяч рублей.

Ответ: 1 100 000 рублей.

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Заметим, что треугольники $ABC$ и $ACD$ имеют общую описанную окружность. Поскольку по условию хорды $AB$ и $CD$ равны, то и вписанные углы, которые на них опираются, также будут равны: $\angle ACB = \angle CAD$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. Из равенства накрест лежащих углов следует параллельность прямых $AD \parallel BC$, что и требовалось доказать.

б) Воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$: $\frac{AB}{\sin \angle BCA} = 2R$.
Отсюда находим синус угла: $\sin \angle BCA = \frac{AB}{2R} = \frac{9}{2 \cdot 6} = \frac{3}{4}$.
Вычислим косинус этого же угла: $\cos \angle BCA = \sqrt{1 - \sin^2 \angle BCA} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
Применим теорему косинусов к стороне $AB$ в $\triangle ABC$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC \cdot BC \cdot \cos \angle BCA$.
Учитывая, что $AB = BC = 9$, уравнение принимает вид:
$9^2 = AC^2 + 9^2 - 2 AC \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$.
$AC^2 - \frac{9\sqrt{7}}{2} AC = 0$.
Так как длина стороны $AC$ не может быть нулевой, получаем $AC = \frac{9\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}$ (после упрощения): $AC = 2 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = 6\sqrt{7}$.
Ранее было доказано, что $\angle CAD = \angle BCA$. Теперь запишем теорему косинусов для $\triangle ACD$:
$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 AC \cdot AD \cdot \cos \angle CAD$.
Подставим известные значения в уравнение:
$12^2 = (6\sqrt{7})^2 + AD^2 - 2 \cdot 6\sqrt{7} \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$.
$144 = 252 + AD^2 - 21 AD$.
$AD^2 - 21 AD + 108 = 0$.
Решая данное квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни: $AD = 12$ или $AD = 9$. Случай $AD = 12$ невозможен в данной конфигурации, следовательно, искомая длина $AD = 9$.

Ответ: б) 9

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим данную систему уравнений: $$\left\{\begin{matrix} 5 \cdot 2^{|x|} + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x^{2} - a \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$$ Проанализируем первое уравнение системы. Заметим, что переменная $x$ входит в него только в составе выражений $|x|$ и $x^2$. Это означает, что если пара чисел $(x_0; y_0)$ является решением системы, то и пара $(-x_0; y_0)$ также будет решением в силу чётности функций по $x$.
Для того чтобы решение системы было единственным, необходимо, чтобы выполнялось условие $x = -x$, то есть $x = 0$.
Подставим значение $x = 0$ в систему, чтобы найти потенциальные значения параметра $a$: $$\left\{\begin{matrix} 5 \cdot 2^{0} + 6 \cdot 0 + 7 = 5 y + 6 \cdot 0 - a \\ 0^2 + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$$ Из второго уравнения получаем: $y^2 = 1$, откуда $y = 1$ или $y = -1$.
Теперь подставим эти значения $y$ в упрощенное первое уравнение $12 = 5y - a$:
1) Если $y = 1$, то $12 = 5 - a$, откуда $a = -7$. Получаем точку $(0; 1)$.
2) Если $y = -1$, то $12 = -5 - a$, откуда $a = -17$. Получаем точку $(0; -1)$.

Необходимо проверить найденные значения параметра на единственность решения.
Случай $a = -7$:
Система принимает вид: $$\left\{\begin{matrix} 5 \cdot 2^{|x|} + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x^{2} + 7 \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$$ Из второго уравнения следует, что $x^2 \leq 1$ и $y^2 \leq 1$, то есть $x \in [-1; 1]$ и $y \in [-1; 1]$.
Выразим $y$ из первого уравнения: $$5y = 5 \cdot 2^{|x|} + 6|x| - 6x^2$$ $$y = 2^{|x|} + \frac{6|x|(1 - |x|)}{5}$$ Так как $|x| \geq 0$, то $2^{|x|} \geq 2^0 = 1$. Учитывая, что $|x| \leq 1$, выражение $(1 - |x|)$ неотрицательно, а значит, и вся дробь $\frac{6|x|(1 - |x|)}{5} \geq 0$.
Следовательно, $y \geq 1$. Но из второго уравнения мы знаем, что $y \leq 1$. Значит, единственно возможное значение $y = 1$.
При $y = 1$ из уравнения окружности получаем $x^2 + 1 = 1$, то есть $x = 0$. Решение $(0; 1)$ действительно единственное.

Случай $a = -17$:
Система выглядит так: $$\left\{\begin{matrix} 5 \cdot 2^{|x|} + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x^{2} + 17 \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$$ Выразим $y$: $$y = 2^{|x|} + \frac{6|x| - 6x^2}{5} - 2$$ Проверим наличие других решений, например, при $x = 1$: $$y = 2^1 + \frac{6 - 6}{5} - 2 = 0$$ Пара $(1; 0)$ удовлетворяет второму уравнению: $1^2 + 0^2 = 1$. Таким образом, кроме точки $(0; -1)$ есть и другие решения (в силу чётности также и $(-1; 0)$), значит, условие единственности не выполняется.
Единственным подходящим значением является $a = -7$.

Ответ: -7

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Такое возможно. В качестве примера рассмотрим ряд натуральных чисел от 69 до 138 включительно. В этом наборе ровно 70 чисел. Среди них кратными 20 являются три числа: $80, 100, 120$. Чисел, которые делятся на 23, здесь четыре: $69, 92, 115, 138$. Условие выполняется: $4 > 3$.
б) Предположим, что в некоторой последовательности ровно 10 чисел кратны 20. Согласно условию, количество чисел, делящихся на 23, должно быть как минимум 11. Чтобы в наборе оказалось 11 чисел, кратных 23, его длина должна составлять не менее $23 \cdot 10 + 1 = 231$ числа (так как между первым и одиннадцатым такими числами укладывается 10 полных интервалов по 23). Оценим количество чисел, кратных 20, в ряду из 231 числа. Если мы разобьем ряд на блоки по 20 чисел, то в каждом полном блоке будет ровно одно кратное 20. В остатке может быть не более 19 чисел. Количество чисел, делящихся на 20, в такой последовательности будет не меньше, чем $\frac{231 - 19}{20} = 10{,}6$. То есть их будет как минимум 11, что противоречит нашему предположению о 10 числах. Следовательно, ответ — нет.
в) Обозначим через $x$ количество чисел в наборе, которые делятся на 20. Тогда количество чисел, кратных 23, должно быть не меньше $x + 1$. Для того чтобы в последовательности было $x + 1$ число, кратное 23, её длина $k$ должна удовлетворять условию $k \geq 23 \cdot x + 1$. С другой стороны, количество чисел, кратных 20, в последовательности длиной $k$ оценивается снизу как $\frac{k - 19}{20}$. Подставим минимально возможную длину $k$: $$x \geq \frac{23x + 1 - 19}{20} \Rightarrow x \geq \frac{23x - 18}{20}$$ Решим полученное неравенство: $$20x \geq 23x - 18$$ $$3x \leq 18 \Rightarrow x \leq 6$$ Таким образом, максимальное количество чисел, кратных 20, равно 6. Максимальная длина последовательности $k$, при которой в ней может быть ровно $x$ чисел, кратных 20, ограничена сверху: $k \leq 20x + 19$. При $x = 6$ получаем: $k \leq 20 \cdot 6 + 19 = 139$. Примером такой последовательности может служить отрезок от 161 до 299. Здесь 7 чисел делятся на 23 ($161, 184, 207, 230, 253, 276, 299$) и 6 чисел делятся на 20 ($180, 200, 220, 240, 260, 280$).

Ответ: а) да; б) нет; в) 139

Источник: ФИПИ