2

Задание №2

#227841 баллСумма и разность векторов

Даны векторы $\overset{\rightarrow}{a} ( 1 ; 2 ) , \overset{\rightarrow}{b} ( - 3 ; 6 ) , \overset{\rightarrow}{c} ( 4 ; - 2 ) .$ Найдите длину вектора $a - b + c .$

3

Задание №3

#231051 баллКомбинации фигур

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A , B , C , C_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1} ,$ площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.

4

Задание №4

#230501 баллКлассическое определение вероятности

В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 6 из Швеции, 5 из Дании, 10 из Норвегии и 4 из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Норвегии.

5

Задание №5

#238861 баллТеоремы о вероятностях событий

В классе 26 учащихся, среди них три подружки — Оля, Аня и Юля. Класс случайным образом разбивают на две равные группы. Найдите вероятность того, что все три девочки окажутся в одной группе.

6

Задание №6

#227811 баллПоказательные уравнения

Найдите корень уравнения $16^{x - 9} = \frac{1}{2} .$

7

Задание №7

#234281 баллЧисловые и буквенные иррациональные выражения

Найдите значение выражения $\frac{\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{24}} .$

8

Задание №8

#235541 баллГеометрический смысл производной

На рисунке изображён график

y = F \left(x\right)

одной из первообразных некоторой функции

f \left(x\right) ,

определённой на интервале

( - 7 ; 8 ) .

Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения

f \left(x\right) = 0

на отрезке

[ 0 ; 5 \left]\right. .

9

Задание №9

#238451 баллОбычные задания на работу с заданными формулами

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi = \omega t + \frac{\beta t^{2}}{2} ,$ где t — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $\omega = 15$ град./мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta = 6$ град./мин² — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $\varphi$ достиг $2250^{\circ} .$ Ответ дайте в минутах.

10

Задание №10

#224081 баллДвижение по воде

Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 9 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Правильный ответ

3

Пояснение

Разбор задачи:

Пусть $x$ (км/ч) — искомая скорость течения реки. Тогда скорость лодки при движении по направлению течения составит $9 + x$ км/ч, а при движении в обратном направлении — $9 - x$ км/ч. Систематизируем данные о поездке в таблице:

Направление	Скорость ( $v$ ), км/ч	Время ( $t$ ), ч	Путь ( $S$ ), км
По течению	$9 + x$	$\frac{72}{9 + x}$	72
Против течения	$9 - x$	$\frac{72}{9 - x}$	72

Согласно условию, на путь против течения было затрачено на 6 часов больше времени. Составим и решим уравнение:
$\frac{72}{9 - x} - \frac{72}{9 + x} = 6$ После приведения к общему знаменателю и упрощения получаем квадратное уравнение, корнями которого являются:
$x_1 = -27$ ; $x_2 = 3$ .
Так как скорость течения — величина положительная, нам подходит только значение 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

11

Задание №11

#234781 баллКомбинированные задачи

На рисунке изображены графики функций $𝑓 ( 𝑥 ) = 5 x + 9$ и $g ( x ) = ax^{2} + bx + c ,$ которые пересекаются в точках $A$ и $B .$ Найдите ординату точки $B .$

12

Задание №12

#233781 баллНахождение наибольших и наименьших значений функции

Найдите наименьшее значение функции $y = 9 x - 9 \ln ( x + 11 ) + 7$ на отрезке $[ - 10{,}5 ; 0 \left]\right. .$

13

Задание №13

#229952 балла

а) Решите уравнение $2 \cos ^{2} x + 3 \sin \left(- x\right) - 3 = 0$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Ход решения:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $2 \cos ^{2} x + 3 \sin \left(- x\right) - 3 = 0$ .
Используя нечётность синуса, преобразуем выражение: $2 \cos ^{2} x - 3 \sin x - 3 = 0$ .
Заменим косинус через основное тригонометрическое тождество: $2 (1 - \sin^2 x) - 3 \sin x - 3 = 0$ .
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$2 - 2 \sin^2 x - 3 \sin x - 3 = 0$
$-2 \sin^2 x - 3 \sin x - 1 = 0$
Умножим всё уравнение на $-1$ , чтобы упростить вид: $2 \sin^2 x + 3 \sin x + 1 = 0$ .
Введём новую переменную $t = \sin x$ , где $|t| \leq 1$ . Получаем квадратное уравнение:
$2 t^{2} + 3 t + 1 = 0$
Корнями данного уравнения являются $t_1 = -1$ и $t_2 = -0,5$ .
Вернёмся к переменной $x$ :
1) $\sin x = -1 \Rightarrow x = \frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ .
2) $\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow \left[\begin{matrix} x = \frac{7 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

б) С помощью единичной окружности выберем корни, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi , \frac{7 \pi}{2}\right]$ .

На указанном интервале получаем следующие значения:
Нижняя точка окружности соответствует $2\pi + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}$ .
Точка в третьей четверти вычисляется как $3\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{19\pi}{6}$ .
Точка в четвёртой четверти ( $2\pi + \frac{11\pi}{6} = \frac{23\pi}{6}$ ) не входит в заданный промежуток.

Ответ: а) $\frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n, \frac{7 \pi}{6} + 2 \pi n, \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ ; б) $\frac{19 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{2}$

Источник: ФИПИ

14

Задание №14

#227913 балла

В правильной треугольной призме $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ отметили точки $M$ и $K$ на ребрах $AA_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ соответственно. Известно, что $A_{1} M = 2 AM , A_{1} K = KB_{1} .$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно плоскости  $ABB_{1} A_{1} .$
а)  Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_{1} .$
б)  Найдите площадь сечения призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью $\alpha ,$ если все ребра призмы равны 20.

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение:

а) По условию $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ — правильная призма, значит, её основаниями служат равносторонние треугольники. Рассмотрим грань $A_{1}B_{1}C_{1}$ . Поскольку точка $K$ является серединой ребра $A_{1}B_{1}$ , отрезок $C_{1}K$ выступает в роли медианы в правильном треугольнике $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ . Следовательно, $C_{1}K$ также является высотой, то есть $C_{1}K \perp A_{1}B_{1}$ . Так как боковые ребра призмы перпендикулярны плоскостям оснований, имеем $C_{1}K \perp AA_{1}$ . Отрезок $C_{1}K$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ( $A_{1}B_{1}$ и $AA_{1}$ ) плоскости боковой грани $ABB_{1}A_{1}$ , значит, $C_{1}K \perp (ABB_{1}A_{1})$ . Любая плоскость, проходящая через прямую $C_{1}K$ , будет перпендикулярна грани $(ABB_{1}A_{1})$ . Таким образом, $(MKC_{1}) \perp (ABB_{1}A_{1})$ , что и требовалось доказать.

б) Искомое сечение — треугольник $MKC_{1}$ . Из доказанного выше перпендикуляра $C_{1}K$ к плоскости грани следует, что $C_{1}K \perp MK$ . Значит, $\triangle MKC_{1}$ является прямоугольным, и его площадь вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} KC_{1} \cdot MK$ .
Найдем необходимые стороны. В треугольнике $\triangle MA_{1}K$ :
$A_{1}K = \frac{1}{2} A_{1}B_{1} = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ .
Из условия $A_{1}M = 2AM$ и того, что $AA_{1} = AM + MA_{1} = 20$ , получаем:
$3AM = 20 \Rightarrow AM = \frac{20}{3}$ .
Тогда длина отрезка $A_{1}M = 2 \cdot \frac{20}{3} = \frac{40}{3}$ .
Применим теорему Пифагора для $\triangle MA_{1}K$ :
$MK^2 = MA_{1}^2 + A_{1}K^2 = \left(\frac{40}{3}\right)^2 + 10^2 = \frac{1600}{9} + 100 = \frac{2500}{9}$ .
Откуда $MK = \frac{50}{3}$ .
Теперь найдем высоту основания $KC_{1}$ из $\triangle A_{1}KC_{1}$ :
$KC_{1}^2 = A_{1}C_{1}^2 - A_{1}K^2 = 20^2 - 10^2 = 400 - 100 = 300$ .
Следовательно, $KC_{1} = 10\sqrt{3}$ .
Вычисляем площадь сечения:
$S_{MKC_{1}} = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot \frac{50}{3} = \frac{250\sqrt{3}}{3}$ .

Ответ: б) $\frac{250\sqrt{3}}{3}$

Источник: ФИПИ

15

Задание №15

#229862 балла

Решите неравенство: $\log _{49} \left(x + 4\right) + \log _{\left(x^{2} + 8 x + 16\right)} \sqrt{7} \leq - \frac{3}{4} .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение:
$\log _{49} (x + 4) + \log _{(x^{2} + 8 x + 16)} \sqrt{7} \leq - \frac{3}{4}$

Для начала преобразуем второе слагаемое $\log _{(x^{2} + 8 x + 16)} \sqrt{7}$ , перейдя к новому основанию $49$ по стандартной формуле $\log _{a} b = \frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}$ :
$\log _{49} (x + 4) + \frac{\log _{49} \sqrt{7}}{\log _{49} (x^{2} + 8 x + 16)} \leq - \frac{3}{4}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$\left\{\begin{matrix} x + 4 > 0 \\ x^{2} + 8 x + 16 > 0 \\ x^{2} + 8 x + 16 \neq 1 \end{matrix}\right.$

Заметим, что $x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$ . Упростим логарифмические выражения, используя свойства степеней:
$\log _{49} (x + 4) + \frac{\log _{7^{2}} (7^{\frac{1}{2}})}{\log _{49} ((x + 4)^{2})} \leq - \frac{3}{4}$
$\log _{49} (x + 4) + \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \log _{7} 7}{2 \log _{49} (|x + 4|)} \leq - \frac{3}{4}$

Учитывая условия ОДЗ:
$\left\{\begin{matrix} x > - 4 \\ (x + 4)^{2} > 0 \\ x^{2} + 8 x + 15 \neq 0 \end{matrix}\right.$
Так как $x > -4$ , модуль $|x+4|$ раскрывается со знаком плюс. Получаем:
$\log _{49} (x + 4) + \frac{\frac{1}{4}}{2 \log _{49} (x + 4)} \leq - \frac{3}{4}$
$\log _{49} (x + 4) + \frac{1}{8 \log _{49} (x + 4)} \leq - \frac{3}{4}$

Уточним ограничения для переменной $x$ :
$\left\{\begin{matrix} x > - 4 \\ x \neq - 4 \\ x \neq - 5 \\ x \neq - 3 \end{matrix}\right.$

Таким образом, область определения: $x \in (- 4 ; - 3) \cup (- 3 ; + \infty) .$

Введем вспомогательную переменную, пусть $t = \log _{49} (x + 4)$ . Неравенство примет вид:
$t + \frac{1}{8 t} \leq - \frac{3}{4}$
$t + \frac{1}{8 t} + \frac{3}{4} \leq 0$
$\frac{8 t^{2} + 6 t + 1}{8 t} \leq 0 .$

Найдем критические точки числителя и знаменателя:
$8 t^{2} + 6 t + 1 = 0 \implies t_{1} = - \frac{1}{2} ; t_{2} = - \frac{1}{4}$
$8 t = 0 \implies t = 0$
Решим неравенство методом интервалов:

Получаем интервалы для $t$ : $t \in ( - \infty ; - \frac{1}{2} ] \cup [ - \frac{1}{4} ; 0 ) .$

Перейдем обратно к переменной $x$ , составив совокупность систем:
$\left[\begin{matrix} t \leq - \frac{1}{2} \\ \left\{\begin{matrix} t \geq - \frac{1}{4} \\ t < 0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$ $\implies$ $\left[\begin{matrix} \log _{49} (x + 4) \leq - \frac{1}{2} \\ \left\{\begin{matrix} \log _{49} (x + 4) \geq - \frac{1}{4} \\ \log _{49} (x + 4) < 0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$

1) Решим первое неравенство с учетом ОДЗ ( $x > -4$ ):
$\log _{49} (x + 4) \leq - \frac{1}{2}$
$x + 4 \leq 49^{- \frac{1}{2}} \implies x + 4 \leq \frac{1}{7}$
$x \leq - \frac{27}{7}$
Следовательно, $x \in ( - 4 ; - \frac{27}{7} ] .$

2) Решим систему неравенств:
Для $\log _{49} (x + 4) \geq - \frac{1}{4}$ :
$x + 4 \geq 49^{- \frac{1}{4}} \implies x + 4 \geq (7^2)^{-\frac{1}{4}} \implies x + 4 \geq \frac{1}{\sqrt{7}}$
$x \geq \frac{\sqrt{7}}{7} - 4$ .
Для $\log _{49} (x + 4) < 0$ :
$x + 4 < 1 \implies x < - 3$ .
С учетом $x > -4$ , получаем интервал: $x \in [ \frac{\sqrt{7}}{7} - 4 ; - 3 )$ .

Проверим положение границ:
$\frac{\sqrt{7}}{7} - 4 > - 4$ (так как $\frac{\sqrt{7}}{7} > 0$ );
$\frac{\sqrt{7}}{7} - 4 < - 3$ (так как $\frac{\sqrt{7}}{7} < 1$ ).

Объединяя результаты и накладывая ограничения ОДЗ:

Ответ: $( - 4 ; - \frac{27}{7} ] \cup [ \frac{\sqrt{7}}{7} - 4 ; - 3 )$

Источник: ФИПИ

16

Задание №16

#229352 балла

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа 10-го месяца долг составит 300 тысяч рублей;
- к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1388 тысяч рублей?

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Разбор задачи:
Введем обозначения:
$S$ — искомая сумма кредита (в тыс. руб.);
$r = 1 \%$ — процентная ставка в месяц;
$n = 11$ месяцев — срок кредитования;
Остаток долга на 10-й месяц составляет 300 тыс. руб.
Общий объем всех выплат равен 1388 тыс. руб.

Составим таблицу изменения задолженности, где $x$ — фиксированная сумма, на которую уменьшается тело долга ежемесячно в течение первых 10 месяцев:

Месяц	Долг до процентов	Долг с процентами	Платеж	Остаток долга
1	$S$	$S + \frac{S \cdot r}{100}$	$\frac{S \cdot r}{100} + x$	$S - x$
2	$S - x$	$(S - x) + \frac{(S - x) \cdot r}{100}$	$\frac{(S - x) \cdot r}{100} + x$	$S - 2x$
...	...	...	...	...
10	$S - 9x$	$(S - 9x) + \frac{(S - 9x) \cdot r}{100}$	$\frac{(S - 9x) \cdot r}{100} + x$	$S - 10x$
11	$300$	$300 + \frac{300 \cdot r}{100}$	$\frac{300 \cdot r}{100} + 300$	0

Исходя из условий, составим систему уравнений:
$\begin{cases} S - 10x = 300 \\ S + \frac{r}{100} \cdot \left( \frac{S + (S - 10x)}{2} \cdot 11 \right) = 1388 \end{cases}$
Здесь второе уравнение описывает общую сумму выплат как сумму основного долга $S$ и начисленных процентов (используем формулу суммы арифметической прогрессии для переплаты).
Выразим $S$ из первого уравнения: $S = 300 + 10x$ и подставим во второе:

$300 + 10x + \frac{1}{100} \cdot \frac{(300 + 10x) + 300}{2} \cdot 11 = 1388$
$300 + 10x + \frac{11}{100} \cdot \frac{600 + 10x}{2} = 1388$
$300 + 10x + \frac{11}{100} \cdot (300 + 5x) = 1388$
$300 + 10x + 33 + \frac{55}{100}x = 1388$
$333 + 10x + 0,55x = 1388$
$10,55x = 1388 - 333$
$10,55x = 1055$
$x = 100$

Теперь вычислим первоначальную сумму кредита:
$S = 300 + 10 \cdot 100 = 1300$ .

Ответ: 1300 тыс. руб.

Источник: ФИПИ

17

Задание №17

#228383 балла

В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC .$ Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые.
а) Докажите, что $AM = DM .$
б) Найдите угол $BAD ,$ если угол $ADC$ равен $70^{\circ} ,$ а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC .$

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение:

а) Пусть боковые стороны трапеции при продолжении пересекаются в точке $K.$ Поскольку по условию $BC = \frac{1}{2} AD,$ отрезок $BC$ является средней линией треугольника $AKD.$ Следовательно, в прямоугольном треугольнике $BKC$ отрезки $BM$ и $CM$ взаимно перпендикулярны. Точка $M$ является центром окружности, описанной около треугольника $AKD,$ откуда следует равенство радиусов $AM = DM.$ Утверждение доказано.

б)

Рассмотрим равнобедренный треугольник $AMD.$ Проведем в нем высоту $MO,$ которая также будет медианой. Заметим, что $MO = OD.$ Тогда угол $\angle MDO = 45^{\circ},$ а значит, $\angle CDM = 70^{\circ} - 45^{\circ} = 25^{\circ}.$ В силу равнобедренности треугольника $MKD$ имеем $\angle MDK = \angle MKD = 25^{\circ}.$ Пусть в равнобедренном треугольнике $AKM$ углы при основании равны $x,$ то есть $\angle AKM = \angle MAK = x.$ Так как треугольник $AMO$ прямоугольный и равнобедренный, угол $\angle MAO = 45^{\circ}.$ Воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника $AKD:$ $(45 + x) + (x + 25) + (25 + 45) = 180$ $2x + 140 = 180$ Отсюда $x = 20.$ Тогда искомый угол $\angle BAD = 45^{\circ} + 20^{\circ} = 65^{\circ}.$

Ответ: б) 65

Источник: ФИПИ

18

Задание №18

#224604 балла

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых система неравенств
$\left\{\begin{matrix} x \leq 2 a + 6 , \\ 6 x \geq x^{2} + a^{2} , \\ x + a > 0 \end{matrix}\right.$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $\left[1 ; 2\right] .$

Ваше решениедо 4 баллов

Запишите решение задачи...

Решение:
Для начала преобразуем исходную систему неравенств к виду, удобному для графического анализа в координатах $(x; a)$ :
$\left\{\begin{matrix} x \leq 2 a + 6 \\ 6 x \geq x^{2} + a^{2} \\ x + a > 0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 2 a \geq x - 6 \\ a^{2} + x^{2} - 6 x \leq 0 \\ a > - x \end{matrix}\right.$
Выделим полный квадрат во втором неравенстве, чтобы получить уравнение круга:
$\left\{\begin{matrix} a \geq \frac{1}{2} x - 3 \\ a^{2} + (x^2 - 6 x + 9) \leq 9 \\ a > - x \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} a \geq \frac{1}{2} x - 3 \\ (x - 3)^{2} + a^{2} \leq 9 \\ a > - x \end{matrix}\right.$
Построим граничные линии. Первая граница — прямая $a = \frac{1}{2} x - 3$ . Проверим несколько точек для её построения:

x	2	0
a	-2	-3

Второе условие задает внутреннюю область круга с центром в точке $(3; 0)$ и радиусом $R = 3$ . Третье условие — открытая полуплоскость выше прямой $a = -x$ .

Определим значение параметра $a$ для граничных случаев. Рассмотрим ситуацию при $x = 2$ :
Подставим это значение во второе неравенство (границу круга):
$6 \cdot 2 \geq 2^{2} + a^{2} \Rightarrow 12 \geq 4 + a^{2} \Rightarrow a^{2} \leq 8$ .
Отсюда получаем интервал $a \in [-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}]$ . С учетом всех ограничений системы, верхняя граница искомого диапазона соответствует значению $a = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .
Анализируя область пересечения всех условий на графике, получаем искомый промежуток для параметра.

Ответ: $(-2; 2\sqrt{2}]$

Источник: ФИПИ

19

Задание №19

#227864 балла

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 25, меньше, чем чисел, делящихся на 29.
а)  Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 25?
б)  Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 25?
в)  Найдите наибольшее возможное значение $k .$

Ваше решениедо 4 баллов

Запишите решение задачи...

Решение:
а) Да, такая ситуация возможна. Рассмотрим в качестве примера ряд натуральных чисел от 87 до 174 включительно. В этом наборе ровно три числа кратны 25 (это 100, 125 и 150). При этом чисел, делящихся на 29, оказывается четыре: 87, 116, 145 и 174. Условие выполняется.

б) Предположим обратное: пусть в последовательности ровно 10 чисел делятся на 25. Согласно условию, количество чисел, кратных 29, должно быть как минимум 11.
Для того чтобы в наборе присутствовало 11 чисел, кратных 29, его длина должна составлять не менее $29 \cdot 10 + 1 = 291$ числа (так как между первым и одиннадцатым числами, делящимися на 29, укладывается 10 полных интервалов по 29).
С другой стороны, оценим максимальное количество чисел в последовательности, где ровно 10 кратны 25. В каждом блоке из 25 идущих подряд чисел содержится ровно одно кратное 25. Значит, 10 таких чисел могут располагаться в ряду длиной максимум $25 \cdot 9 + 24 + 24 = 273$ (если считать от числа, идущего сразу после кратного 25, до числа, идущего перед следующим кратным 25).
Более строго: если в ряду из $k$ чисел ровно 10 делятся на 25, то $k$ не может превышать $25 \cdot 11 - 1 = 274$ . Однако для 11 чисел, кратных 29, необходимо $k \geq 291$ . Получаем противоречие: $291 \leq k \leq 274$ , что невозможно. Следовательно, ответ — нет.

в) Обозначим через $x$ количество чисел в наборе, которые делятся на 25. Тогда количество чисел, кратных 29, должно быть не меньше $x + 1$ .
Минимальная длина последовательности $k$ , содержащей $x + 1$ число, кратное 29, оценивается как $k \geq 29(x + 1 - 1) + 1 = 29x + 1$ .
При этом количество чисел $x$ , кратных 25, в такой последовательности должно удовлетворять неравенству:
$x \geq \left\lceil \frac{(29x + 1) - 24}{25} \right\rceil = \left\lceil \frac{29x - 23}{25} \right\rceil$
Отсюда следует:
$25x \geq 29x - 23$
$23 \geq 4x$
$x \leq 5,75$ .
Значит, максимальное возможное значение $x$ равно 5. Подставим его для нахождения оценки сверху для $k$ :
$k \leq 25 \cdot x + 24 \Rightarrow k \leq 25 \cdot 5 + 24 = 149$ .
Примером такой последовательности из 149 чисел может служить отрезок от 551 до 699. В нем числа 575, 600, 625, 650, 675 (всего 5) делятся на 25, а числа 551, 580, 609, 638, 667, 696 (всего 6) делятся на 29.

Ответ: а) да; б) нет; в) 149

Источник: ФИПИ