Вариант 3 · Июль 2026

Критерии оценивания:

За полностью верное и логически обоснованное решение обоих пунктов (а и б) выставляется максимальный балл — 2 балла.

Если правильно выполнен только пункт а), либо если в ходе решения обоих пунктов была допущена единственная арифметическая ошибка, не изменившая общего верного алгоритма действий, выставляется 1 балл.

Во всех остальных случаях, не подходящих под описание выше, работа оценивается в 0 баллов.

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Поскольку фигура $KLMN$ является квадратом, стороны $KN$ и $LM$ параллельны друг другу. Из этого следует, что прямая $LM$ параллельна плоскости основания $ABC.$ Так как прямые $LM$ и $AB$ лежат в одной плоскости $ADB$ и не пересекаются (в силу параллельности $LM$ и плоскости $ABC$), они параллельны между собой. Таким образом, $KN \parallel LM \parallel AB.$ Рассуждая аналогично для другой пары сторон квадрата, получаем, что $KL \parallel MN \parallel CD.$ Применяя теорему Фалеса к треугольникам $ACB$ и $CBD$, находим отношение отрезков:
$$\frac{BM}{MD} = \frac{BN}{NC} = \frac{AK}{KC} = \frac{2}{3}.$$

б) Искомое расстояние от вершины $C$ до плоскости $KLM$ совпадает с высотой пирамиды $CKMN,$ опущенной из точки $C.$ В основании этой пирамиды лежит прямоугольный треугольник $KMN,$ площадь которого вычисляется как:
$S_{KMN} = \frac{1}{2} \cdot KN \cdot NM = 2.$
Тогда искомое расстояние $d$ можно выразить через объем пирамиды:
$d(C, KMN) = \frac{3 V_{CKMN}}{S_{KMN}}.$
Обозначим через $DH$ высоту исходного тетраэдра $DABC,$ а через $MH_1$ — высоту пирамиды $MKCN.$ Свяжем объем $MKCN$ с объемом $DABC:$
$V_{MKCN} = \frac{1}{3} \cdot MH_1 \cdot S_{CKN} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{5} DH\right) \cdot \left(\frac{9}{25} S_{ABC}\right) = \frac{18}{125} V_{DABC}.$
Учитывая, что $V_{DABC} = 25,$ получаем:
$V_{MKCN} = \frac{18}{125} \cdot 25 = \frac{18}{5}.$
Вычисляем финальное значение расстояния:
$d(C, KMN) = \frac{3 \cdot \frac{18}{5}}{2} = \frac{54}{10} = 5{,}4.$

Критерии оценивания:
3 балла — приведено полностью верное доказательство в пункте а) и получен правильный ответ в пункте б).
2 балла — верно решен пункт б), либо доказан пункт а) при наличии одной арифметической ошибки в пункте б).
1 балл — доказан только пункт а), либо пункт б) решен с опорой на пункт а) (даже если тот не доказан), либо допущена ошибка в вычислениях при верном ходе решения.
0 баллов — решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: б) $5{,}4$

Источник: ФИПИ

Решение:
Исходное неравенство: $\frac{\log _{2} x^{2} - \log _{3} x^{2}}{\log _{6}^{2} ( 2 x^{2} - 10 x + 12{,}5 ) + 1} \geq 0$
Преобразуем числитель, используя свойства степени логарифма, и представим десятичную дробь в знаменателе в виде обыкновенной:
$\frac{2 \log _{2} |x| - 2 \log _{3} |x|}{\log _{6}^{2} ( 2 x^{2} - 10 x + \frac{25}{2} ) + 1} \geq 0$
Вынесем общий множитель в числителе:
$\frac{2 ( \log _{2} |x| - \log _{3} |x| )}{\log _{6}^{2} ( 2 x^{2} - 10 x + \frac{25}{2} ) + 1} \geq 0$
Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x^{2} > 0 \\ 2 x^{2} - 10 x + 12{,}5 > 0 \end{cases}$
Также учтем, что знаменатель не может быть равен нулю: $\log _{6}^{2} ( 2 x^{2} - 10 x + 12{,}5 ) + 1 \neq 0$.
Второе неравенство системы можно переписать как $2(x^2 - 5x + 6{,}25) > 0$, что эквивалентно $2(x - 2{,}5)^2 > 0$. Это верно при всех $x \neq 2{,}5$.
Таким образом, ограничения для переменной: $x \in \mathbb{R}$, при этом $x \neq 0$ и $x \neq \frac{5}{2}$.
Проанализируем знаменатель дроби: выражение $\log _{6}^{2} ( \dots )$ всегда неотрицательно, а при добавлении единицы оно становится строго положительным при любых допустимых значениях $x$. Следовательно, знак всей дроби зависит только от числителя:
$2 (\log _{2} |x| - \log _{3} |x|) \geq 0$
Разделим на 2 и приведем логарифмы к одному основанию:
$\log _{2} |x| - \frac{\log _{2} |x|}{\log _{2} 3} \geq 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{\log _{2} 3 \cdot \log _{2} |x| - \log _{2} |x|}{\log _{2} 3} \geq 0$
Вынесем $\log _{2} |x|$ за скобки:
$\frac{\log _{2} |x| (\log _{2} 3 - 1)}{\log _{2} 3} \geq 0$
Так как $\log _{2} 3 > 1$, то множитель $(\log _{2} 3 - 1)$ положителен. Знаменатель $\log _{2} 3$ также больше нуля. Значит:
$\log _{2} |x| \geq 0$
Отсюда следует: $|x| \geq 1$.
Раскроем модуль:
1) Если $x > 0$, то $x \geq 1$.
2) Если $x < 0$, то $-x \geq 1$, что дает $x \leq -1$.
Получаем объединение промежутков: $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
Теперь сопоставим полученный результат с найденными ранее ограничениями ($x \neq 2{,}5$):

Ответ: $( - \infty ; - 1 ] \cup [ 1 ; \frac{5}{2} ) \cup ( \frac{5}{2} ; + \infty )$

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:
Введем обозначения для условий кредитования:
Начальная сумма кредита $S = 1400$ тыс. рублей;
Процентная ставка $r = 10 \%$ годовых;
Срок кредитования $n = 10$ лет.
Согласно условию, в течение первой пятилетки (с 1-го по 5-й год) основной долг ежегодно уменьшается на фиксированную величину $x$.
В последующие пять лет (с 6-го по 10-й год) долг снижается на другую фиксированную величину $y$.
Общий объем всех выплат банку составил 2120 тыс. рублей. Нам необходимо вычислить размер транзакции в 2026 году (первый год выплат).

Составим систему уравнений, основываясь на том, что сумма всех выплат складывается из погашения тела долга ($5x + 5y = S$) и начисленных процентов. Для суммирования процентов воспользуемся формулой арифметической прогрессии:
$\left\{\begin{matrix} 5x + \frac{10}{100} \cdot \frac{1400 + (1400 - 4x)}{2} \cdot 5 + 5y + \frac{10}{100} \cdot \frac{(1400 - 5x) + (1400 - 5x - 4y)}{2} \cdot 5 = 2120 \\ 5x + 5y = 1400 \end{matrix}\right.$
Упростим выражения:
$\left\{\begin{matrix} 5x + \frac{2800 - 4x}{4} + 5y + \frac{2800 - 10x - 4y}{4} = 2120 \quad | \cdot 4 \\ x + y = 280 \end{matrix}\right.$
Раскроем скобки в первом уравнении:
$\left\{\begin{matrix} 20x + 2800 - 4x + 20y + 2800 - 10x - 4y = 8480 \\ x = 280 - y \end{matrix}\right.$
Приведем подобные слагаемые:
$\left\{\begin{matrix} 6x + 16y = 2880 \\ x = 280 - y \end{matrix}\right.$
Подставим $x$ в первое уравнение:
$6(280 - y) + 16y = 2880$
$1680 - 6y + 16y = 2880$
$10y = 1200 \Rightarrow y = 120$
Находим $x$:
$x = 280 - 120 = 160$.
Выплата в первый год (2026) состоит из начисленных на всю сумму процентов и части основного долга $x$:
$P_{2026} = \frac{1400 \cdot 10}{100} + 160 = 140 + 160 = 300$ тыс. рублей.

Ответ: 300000 рублей

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Выполним дополнительное построение: через вершину $C$ проведём прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $K$.
Так как $BC \parallel DK$ и $CK \parallel BD$, четырёхугольник $BCKD$ является параллелограммам. Отсюда следует, что $BC = DK$.
Сумма оснований трапеции равна длине отрезка $AK$: $AD + BC = AD + DK = 13$.
Рассмотрим треугольник $ACK$. Заметим, что сумма квадратов его сторон $AC$ и $CK$ (где $CK = BD$) равна:
$AC^{2} + CK^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169$.
Поскольку $AK^{2} = 13^{2} = 169$, то выполняется равенство $AC^{2} + CK^{2} = AK^{2}$. Согласно обратной теореме Пифагора, треугольник $ACK$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACK = 90^{\circ}$). Так как $CK \parallel BD$, то и диагонали трапеции перпендикулярны: $AC \bot BD$. Что и требовалось доказать.

б) Проведём высоту трапеции $CH$, которая также является высотой треугольника $ACK$.
Прямоугольные треугольники $ACK$ и $CKH$ подобны по двум углам (у них общий угол $K$).
Из подобия имеем отношение сторон: $\frac{AC}{CH} = \frac{AK}{CK}$. Учитывая, что $CK = BD$, выразим высоту:
$CH = \frac{AC \cdot CK}{AK} = \frac{12 \cdot 5}{13} = \frac{60}{13}$.

Ответ: б) $\frac{60}{13}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим первое уравнение системы: $\left(x^{2} - 5 x - y + 3\right) \cdot \sqrt{x - y + 3} = 0$. Оно определено при условии $x - y + 3 \geq 0$, то есть $y \leq x + 3$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) Из равенства корня нулю получаем прямую $y = x + 3$.
2) Из равенства нулю первой скобки получаем параболу $y = x^{2} - 5 x + 3$.
С учётом области определения ($y \leq x + 3$) для параболы должно выполняться неравенство: $x^{2} - 5 x + 3 \leq x + 3$, что сводится к $x^{2} - 6 x \leq 0$. Таким образом, часть параболы рассматривается только на отрезке $0 \leq x \leq 6$.

Подставим второе уравнение системы $y = 3 x + a$ в найденные условия и проанализируем количество точек пересечения в зависимости от параметра $a$.
Случай 1: Пересечение с прямой $y = x + 3$.
Уравнение $3 x + a = x + 3$ даёт единственный корень $x = \frac{3 - a}{2}$ при любом значении $a$.

Случай 2: Пересечение с дугой параболы $y = x^{2} - 5 x + 3$ при $x \in [0; 6]$.
Приравнивая правые части, получаем квадратное уравнение $x^{2} - 8 x + 3 - a = 0$. Его дискриминант равен $D = 64 - 4(3 - a) = 4(a + 13)$.
- Если $a < -13$, корней нет.
- Если $a = -13$, имеем один корень $x = 4$, который входит в интервал $[0; 6]$.
- Если $a > -13$, уравнение имеет два корня.

Вершина параболы $f(x) = x^{2} - 8 x + 3 - a$ находится в точке $x_0 = 4$. Чтобы больший корень лежал в пределах $[0; 6]$, необходимо выполнение условия $f(6) \geq 0$, так как ветви направлены вверх и вершина внутри отрезка. Это даёт: $36 - 48 + 3 - a \geq 0$, то есть $-a - 9 \geq 0$, откуда $a \leq -9$.
Для того чтобы меньший корень также попадал в область $x \in [0; 6]$, требуется $f(0) \geq 0$. Получаем: $0 - 0 + 3 - a \geq 0$, то есть $a \leq 3$.

Заметим, что корень из первого случая $x = \frac{3 - a}{2}$ может совпасть с корнем из второго случая. Проверим это, подставив его в уравнение параболы:
$\left(\frac{3 - a}{2}\right)^{2} - 8\left(\frac{3 - a}{2}\right) + 3 - a = 0$;
$\frac{(a - 3)^2}{4} + 4(a - 3) - (a - 3) = 0$;
$\frac{(a - 3)^2}{4} + 3(a - 3) = 0$;
$(a - 3)\left(\frac{a - 3}{4} + 3\right) = 0$.
Совпадение происходит при $a = 3$ или $a = -9$.
Анализируя совокупность условий, получаем, что ровно два различных решения система имеет в следующих случаях: при $a = -13$ (один корень от параболы и один от прямой) и в промежутке $-9 \leq a < 3$.

Ответ: $a = - 13 ; - 9 \leq a < 3$

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Да, такая ситуация возможна. В качестве примера возьмём число $2034$. Сумма его цифр составляет $2 + 0 + 3 + 4 = 9$. Если прибавить это значение к самому числу, получим: $2034 + 9 = 2043$.
б) Предположим, что число $599$ можно разложить на два слагаемых $A$ и $B$ с одинаковой суммой цифр. Рассмотрим процесс их сложения столбиком:
В разряде единиц сумма цифр должна оканчиваться на 9. Поскольку максимальная сумма двух цифр равна 18, она может быть только 9, следовательно, переноса в следующий разряд нет. Аналогично в разряде десятков: сумма цифр без учёта переноса оканчивается на 9, значит, она равна 9, и переноса в сотни также не возникает. В разряде сотен сумма цифр равна 5.
Пусть число $A$ записывается как $\overline{abc}$, где $a, b, c$ — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Тогда, исходя из отсутствия переносов, число $B$ будет иметь вид $\overline{(5-a)(9-b)(9-c)}$.
Сумма цифр числа $A$ равна $S = a + b + c$.
Сумма цифр числа $B$ равна $(5 - a) + (9 - b) + (9 - c) = 23 - (a + b + c) = 23 - S$.
Для выполнения условия задачи необходимо, чтобы $S = 23 - S$, откуда $2S = 23$, то есть $S = 11{,}5$. Однако сумма цифр натурального числа обязана быть целым числом. Полученное противоречие доказывает, что представить число 599 таким образом нельзя.
в) Обозначим искомые семь различных натуральных чисел в порядке возрастания: $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5} < x_{6} < x_{7}$.
Так как суммы цифр у всех этих чисел одинаковы, то при делении на 9 они дают один и тот же остаток. Это означает, что разность между любыми двумя такими числами кратна 9. Минимальный шаг между соседними числами в такой последовательности равен 9. Тогда:
$x_{2} \geq x_{1} + 9$, $x_{3} \geq x_{1} + 18$, ..., $x_{7} \geq x_{1} + 54$.
Общая сумма $S_{7}$ будет удовлетворять неравенству:
$S_{7} \geq x_{1} + (x_{1} + 9) + (x_{1} + 18) + (x_{1} + 27) + (x_{1} + 36) + (x_{1} + 45) + (x_{1} + 54) = 7x_{1} + 189$.
Проверим возможные значения суммы цифр $k$:
При $k = 1$: числа 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000. Сумма слишком велика.
При $k = 2$: минимальные числа 2, 11, 20, 101, 110, 200, 1001. Сумма $1445$.
При $k = 3$: числа 3, 12, 21, 30, 102, 111, 201. Сумма $480$.
При $k = 4$: числа 4, 13, 22, 31, 40, 103, 112. Сумма $325$.
При $k = 5$: числа 5, 14, 23, 32, 41, 50, 104. Сумма $269$.
При $k = 6$: числа 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60. Сумма $231$.
При $k = 7$: числа 7, 16, 25, 34, 43, 52, 61. Сумма $238$.
Для $k \geq 7$ и $x_{1} \geq 7$ минимально возможная сумма по формуле $7x_{1} + 189$ составит $7 \cdot 7 + 189 = 238$, что уже больше 231. Дальнейшее увеличение $k$ или $x_1$ будет только увеличивать итоговую сумму. Таким образом, наименьшее значение — 231.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 231

Источник: ФИПИ