Вариант 4 · Июль 2026

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $8 \cdot 16^{\sin ^{2} x} - 2 \cdot 4^{\cos 2 x} = 63$.
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы привести степени к одному основанию:
$8 \cdot 4^{2 \sin ^{2} x} - 2 \cdot 4^{1 - 2 \sin ^{2} x} = 63$
Используя свойства степеней, преобразуем второе слагаемое:
$8 \cdot 4^{2 \sin ^{2} x} - 2 \cdot \frac{4^1}{4^{2 \sin ^{2} x}} = 63$
Заметим, что $4^{2 \sin ^{2} x} = (4^2)^{\sin^2 x} = 16^{\sin^2 x}$. Уравнение примет вид:
$8 \cdot 16^{\sin ^{2} x} - \frac{8}{16^{\sin ^{2} x}} = 63$
Введем новую переменную $t = 16^{\sin ^{2} x}$, где $t > 0$. Получаем дробно-рациональное уравнение:
$8t - \frac{8}{t} = 63$
Умножим обе части на $t \neq 0$ и перенесем всё в левую часть:
$8t^2 - 63t - 8 = 0$
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
$D = (-63)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-8) = 3969 + 256 = 4225 = 65^2$
Вычислим корни:
$t_{1} = \frac{63 - 65}{16} = -\frac{2}{16} = -0,125$ (не подходит, так как $t$ должно быть больше нуля)
$t_{2} = \frac{63 + 65}{16} = \frac{128}{16} = 8$
Выполним обратную замену для $t = 8$:
$16^{\sin^2 x} = 8$
$(2^4)^{\sin^2 x} = 2^3$
$2^{4 \sin^2 x} = 2^3$
Приравниваем показатели степеней:
$4 \sin^2 x = 3 \Rightarrow \sin^2 x = \frac{3}{4}$
Отсюда получаем два случая для синуса:
$\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
1) Если $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) Если $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти решения можно объединить в запись $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, но оставим в развернутом виде.

б) Произведем отбор корней, принадлежащих промежутку $\left[\frac{7 \pi}{2} ; 5 \pi\right]$, используя единичную окружность.

На указанном отрезке находятся следующие значения:
1) $x_1 = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$
2) $x_2 = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$
3) $x_3 = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3}$

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k, \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11 \pi}{3}, \frac{13 \pi}{3}, \frac{14 \pi}{3}$

Источник: ФИПИ

Решение:

Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$. Точки $M$ и $K$ лежат на рёбрах $AB$ и $SB$ соответственно. Согласно условию: $AM = 2$, $SK = 1$, сторона основания $AB = 8$, боковое ребро $SA = 7$.
а) 1) Поскольку пирамида правильная, в её основании лежит квадрат $ABCD$, следовательно, угол $\angle ABC = 90^{\circ}$. Отрезок $MB = AB - AM = 8 - 2 = 6$.
2) Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $MBC$:
$MC = \sqrt{BC^{2} + MB^{2}} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10$.
3) Пусть $SO$ — высота данной пирамиды, где $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата. Найдём её длину из треугольника $SOB$:
$SO = \sqrt{SB^{2} - BO^{2}}$. Так как диагональ $BD = 8\sqrt{2}$, то $BO = 4\sqrt{2}$.
$SO = \sqrt{7^{2} - (4\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{49 - 32} = \sqrt{17}$.
4) Проанализируем плоскость основания $ABCD$:

Пусть $H$ — точка пересечения $MC$ и $BD$. Треугольники $MHB$ и $CHD$ подобны по двум углам ($\angle DHC = \angle MHB$ как вертикальные, $\angle MCB = \angle MDC$ как накрест лежащие при параллельных прямых).
Коэффициент подобия: $\frac{MB}{DC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
Тогда $\frac{HB}{HD} = \frac{3}{4}$. Учитывая, что $BD = 8\sqrt{2}$, получаем:
$HB = \frac{3}{7} BD = \frac{3}{7} \cdot 8\sqrt{2} = \frac{24\sqrt{2}}{7}$.
5) Заметим, что отношение $\frac{KB}{SB} = \frac{7-1}{7} = \frac{6}{7}$.
Вычислим отношение $\frac{HB}{OB} = \frac{24\sqrt{2}}{7} : 4\sqrt{2} = \frac{24\sqrt{2}}{7 \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{6}{7}$.
Так как $\frac{KB}{SB} = \frac{HB}{OB}$, по теореме, обратной теореме Фалеса (или из подобия треугольников $KBH$ и $SBO$), следует, что $KH \parallel SO$.
Поскольку $SO \perp (ABC)$, то и параллельная ей прямая $KH \perp (ABC)$, что и требовалось доказать.
б) 6) Так как $KH$ перпендикулярна плоскости основания, она является высотой пирамиды $KMBC$, опущенной на грань $MBC$.
7) Из подобия $\triangle KHB \sim \triangle SOB$ находим длину высоты:
$KH = \frac{6}{7} SO = \frac{6}{7} \sqrt{17}$.
8) Площадь прямоугольного треугольника $MBC$ равна:
$S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$.
9) Вычислим объём пирамиды $KMBC$:
$V_{KMBC} = \frac{1}{3} \cdot S_{MBC} \cdot KH = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot \frac{6\sqrt{17}}{7} = \frac{48\sqrt{17}}{7}$.

Ответ: б) $\frac{48\sqrt{17}}{7}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим неравенство: $\log _{11} \left(8 x^{2} + 7\right) - \log _{11} \left(x^{2} + x + 1\right) \geq \log _{11} \left(\frac{x}{x + 5} + 7\right)$.
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):

$\left\{\begin{matrix} 8 x^{2} + 7 > 0 \\ x^{2} + x + 1 > 0 \\ \frac{x}{x + 5} + 7 > 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow$

$\left\{\begin{matrix} x \in \mathbb{R} \\ x \in \mathbb{R} \\ \frac{x + 7(x + 5)}{x + 5} > 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x \in \mathbb{R} \\ x \in \mathbb{R} \\ \frac{8 x + 35}{x + 5} > 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow$

$\Rightarrow x \in ( - \infty ; - 5 ) \cup ( - \frac{35}{8} ; + \infty )$

Преобразуем левую часть по свойству разности логарифмов и упростим аргумент справа:
$\log _{11} \left(\frac{8 x^{2} + 7}{x^{2} + x + 1}\right) \geq \log _{11} \left(\frac{8 x + 35}{x + 5}\right)$

Так как основание логарифмической функции $11 > 1$, функция является возрастающей. Переходим к сравнению аргументов с сохранением знака неравенства:
$\frac{8 x^{2} + 7}{x^{2} + x + 1} \geq \frac{8 x + 35}{x + 5}$
$\frac{8 x^{2} + 7}{x^{2} + x + 1} - \frac{8 x + 35}{x + 5} \geq 0$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{( 8 x^{2} + 7 ) ( x + 5 ) - ( 8 x + 35 ) ( x^{2} + x + 1 )}{( x^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} \geq 0$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{8 x^{3} + 40 x^{2} + 7 x + 35 - ( 8 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 35 x^{2} + 35 x + 35 )}{( x^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} \geq 0 \\ \frac{8 x^{3} + 40 x^{2} + 7 x + 35 - 8 x^{3} - 43 x^{2} - 43 x - 35}{( x^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} \geq 0$
После приведения подобных слагаемых получаем:
$\frac{- 3 x^{2} - 36 x}{( x^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} \geq 0$
Разделим обе части на $-3$, меняя знак неравенства:
$\frac{x^{2} + 12 x}{( x^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} \leq 0$
$\frac{x ( x + 12 )}{( x^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} \leq 0$
Заметим, что квадратный трехчлен $x^2 + x + 1$ всегда положителен (дискриминант $D < 0$). Решим методом интервалов:

Промежуточное решение: $x \in ( - \infty ; - 12 ] \cup ( - 5 ; 0 ]$

С учетом найденных ранее ограничений (ОДЗ) окончательно имеем:
$x \in ( - \infty ; - 12 ] \cup ( - \frac{35}{8} ; 0 ] .$

Ответ: $x \in ( - \infty ; - 12 ] \cup ( - \frac{35}{8} ; 0 ]$

Источник: ФИПИ

Решение:
Составим функцию зависимости годовой прибыли предприятия от объёма производства $x$. Она вычисляется как разность между выручкой и общими издержками:
$f(x) = px - (0{,}5x^2 + x + 7) = -0{,}5x^2 + (p - 1)x - 7$.
Данная функция является квадратичной, а её графиком служит парабола, ветви которой направлены вниз. Максимальное значение такая функция достигает в вершине параболы:
$x_0 = \frac{-(p - 1)}{2 \cdot (-0{,}5)} = p - 1$.
Вычислим максимальную годовую прибыль, подставив $x_0$ в выражение функции:
$f(x_0) = -0{,}5(p - 1)^2 + (p - 1)(p - 1) - 7 = 0{,}5(p - 1)^2 - 7$.
По условию задачи завод стоимостью 100 млн рублей должен окупиться не более чем за 4 года. Это означает, что ежегодная прибыль должна составлять не менее четверти от стоимости завода:
$f(x_0) \geq \frac{100}{4}$.
Решим полученное неравенство:
$0{,}5(p - 1)^2 - 7 \geq 25$
$0{,}5(p - 1)^2 \geq 32$
$(p - 1)^2 \geq 64$
Отсюда следует совокупность неравенств:
$\left[\begin{matrix} p - 1 \geq 8 \\ p - 1 \leq -8 \end{matrix}\right. \iff \left[\begin{matrix} p \geq 9 \\ p \leq -7 \end{matrix}\right.$
Так как цена $p$ — величина положительная, нам подходит условие $p \geq 9$. Таким образом, минимально возможное целое значение цены составляет 9.

Ответ: 9

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Рассмотрим треугольники $AQM$ и $AHM$. Они равны по общей гипотенузе $AM$ и острому углу ($AM$ — биссектриса, значит $\angle QAM = \angle MAH$; углы $\angle AQM$ и $\angle AHM$ прямые). Из равенства треугольников вытекает, что $QM = MH$.
В прямоугольном треугольнике $QCM$ угол $\angle QCM$ равен $30^{\circ}$, поэтому катет $QM$ вдвое меньше гипотенузы $CM$.
Обозначим $QM = x$, тогда $CM = 2x$.
Воспользуемся свойством биссектрисы $AM$ в треугольнике $ACH$:
$$\frac{MH}{CM} = \frac{AH}{AC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}.$$
Поскольку из равенства треугольников $AH = AQ$, получаем соотношение $AQ = \frac{1}{2} AC$. Это означает, что точка $Q$ является серединой отрезка $AC$, то есть $AQ = QC$.
Следовательно, прямоугольные треугольники $QCM$ и $QMA$ равны по двум катетам ($QC = QA$ и $QM$ — общий катет).
Отсюда $AM = CM = 2x$. Таким образом, в треугольнике $ABC$ отрезок $AM$ является медианой, длина которой равна половине стороны $BC$, к которой она проведена ($BM = MC = AM$).
Данное свойство характерно только для прямоугольного треугольника, значит, $\angle BAC = 90^{\circ}$, что и требовалось доказать.

б) Площадь треугольника $CMF$ можно вычислить по формуле $S_{CMF} = \frac{1}{2} CQ \cdot MF$, где $CQ$ выступает в роли высоты к прямой, содержащей $MF$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB = 10$ лежит против угла в $30^{\circ}$, следовательно, гипотенуза $CB = 2 \cdot AB = 20$.
Так как $M$ — середина $CB$, имеем $CM = MB = AM = 10$.
Тогда $MH = \frac{1}{2} CM = 5$.
Поскольку $MB = 10$ и $MH = 5$, точка $H$ также делит отрезок $MB$ пополам, то есть $HB = 5$.
Треугольники $MHF$ и $MQF$ равны (по катету $MH = MQ$ и прилежащим углам $\angle MHF = \angle MQF = 90^\circ$, $\angle MFH = \angle QMC$ как накрест лежащие при параллельных прямых), откуда следует $FM = CM = 10$.
Применим теорему Пифагора для треугольника $ABC$:
$AC = \sqrt{CB^{2} - AB^{2}} = \sqrt{20^{2} - 10^{2}} = \sqrt{300} = 10 \sqrt{3}$.
Так как $Q$ — середина $AC$, то $CQ = \frac{10 \sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3}$.
Вычисляем искомую площадь:
$S_{CMF} = \frac{1}{2} \cdot 5 \sqrt{3} \cdot 10 = 25 \sqrt{3}$.

Ответ: б) $25 \sqrt{3}$

Источник: ФИПИ

4 балла: Задача решена полностью, представлено логически верное обоснование и найден точный ответ.
3 балла: Ход решения правильный, получен итоговый результат, однако допущена одна арифметическая погрешность или некоторые этапы обоснованы не в полной мере.
2 балла: Выбран верный метод решения, но допущена одна логическая ошибка (не связанная с вычислениями), повлиявшая на результат.
1 балл: Удалось найти лишь часть подходящих значений параметра, при этом в работе присутствует более одной ошибки.
0 баллов: Представленное решение не удовлетворяет ни одному из указанных выше условий.

Источник: ФИПИ

Решение:
Среднее арифметическое $= \frac{S}{n} \Rightarrow S , S = ср . арифм \cdot n ,$ где $S$ - сумма, $n$ - количество.
Рассмотрим 3 любых числа:
$a + b + x_{1} = 3 \cdot M_{1}$
$a + b + x_{2} = 3 \cdot M_{2}$
Вычтем эти 2 уравнения
$x_{1} - x_{2} = 3 \left(M_{1} - M_{2}\right)$
следовательно разность любых 2-ух чисел делиться на 3, аналогично с 4, 5, 6 любыми числами т. е разность любых 2-ух чисел делится на 3, 4, 5 и 6 (и на 60).
а) $30021 - 351 = 29670$ не делится на 4$\rightarrow$нет, не может.
б) Так как у нас по условию 30021 находится на доске, можно сделать общий вид для всех чисел $60 K + 21$ (Так как $30021 \vdots 60$ дает остаток 21).
Заметим $11 \left(60 K + 21\right) = 660 K + 231 = 60 \left(11 K + 3\right) + 51$ таким образом при умножении на 11 остаток от деления на 60 изменится (Нет не может).
в) Необходимо, чтобы $n \left(60 K + 21\right)$ давало остаток 21 при делении на 60.
т. е $\left(n 60 + 21 n - 21\right) \vdots 60$
$60 Kn + 21 \left(n - 1\right) \vdots 60$
Таким образом необходимо, чтобы 
$21 \left(n - 1\right) \vdots 60 \\ 7 \left(n - 1\right) \vdots 20$
Т. е $n - 1$ должно делиться на 20 $n \geq 21 .$
Возьмем наименьшее $n = 21 .$
Например: $21 ; 441 ; 30021 ; 9261 ; . . .$ Таким образом наименее возможное $n = 21 .$

Ответ: а) нет б) нет в) 21

Источник: ФИПИ