Вариант 5 · Июль 2026

а) Решим уравнение:

$$\log_5(2\sin^2 x - \sin 2x + 11) = 1.5 \log_5 9$$

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифмов:

$$1.5 \log_5 9 = \log_5 (9^{1.5}) = \log_5 (3^2)^{1.5} = \log_5 3^3 = \log_5 27$$

Теперь исходное уравнение примет вид:

$$\log_5(2\sin^2 x - \sin 2x + 11) = \log_5 27$$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:

$$2\sin^2 x - 2\sin x \cos x + 11 = 27$$

$$2\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 16 = 0$$

Разделим всё уравнение на 2 и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством ($8 = 8\sin^2 x + 8\cos^2 x$):

$$\sin^2 x - \sin x \cos x - 8(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0$$

$$-7\sin^2 x - \sin x \cos x - 8\cos^2 x = 0$$

$$7\sin^2 x + \sin x \cos x + 8\cos^2 x = 0$$

Разделим обе части на $\cos^2 x$ (заметим, что если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно):

$$7\text{tg}^2 x + \text{tg } x + 8 = 0$$

Рассмотрим квадратное уравнение относительно $t = \text{tg } x$:

$$7t^2 + t + 8 = 0$$

Дискриминант данного уравнения $D = 1^2 - 4 \cdot 7 \cdot 8 = 1 - 224 = -223$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Примечание: Внимательно проверьте условие задачи, если в исходных данных были иные коэффициенты.

б) Отбор корней:

Поскольку в пункте (а) уравнение не имеет решений, на заданном промежутке корней также не будет.

Ответ: а) решений нет; б) решений нет.

Источник: ФИПИ

Решение:

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду $ABCD$. Согласно условию, стороны основания $AB = BC = AC = 5$, а боковые ребра $AD = BD = CD = 9$. Точка $T$ делит ребро $AD$ в отношении $AT : TD = 1 : 2$.
а) 1) По условию плоскость сечения проходит через точку $T$ параллельно прямым $BD$ и $AC$. Следовательно, линии пересечения сечения с гранями будут параллельны этим прямым: $TN \parallel BD$ и $TM \parallel AC$.
Проведем через точку $M$ прямую $ME$, параллельную $BD$. Соединив точки $N$ и $E$, получим четырехугольник $TMEN$, являющийся искомым сечением.
2) В основании лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $5$, боковые ребра пирамиды равны $9$.
3) Воспользуемся теоремой о пропорциональных отрезках:
Из параллельности $TN \parallel BD$ следует, что $\frac{AN}{NB} = \frac{AT}{TD} = \frac{1}{2}$.
Из параллельности $TM \parallel AC$ следует, что $\frac{DM}{MC} = \frac{DT}{TA} = \frac{2}{1}$, то есть $\frac{CM}{MD} = \frac{1}{2}$.
Из параллельности $ME \parallel BD$ следует, что $\frac{CE}{EB} = \frac{CM}{MD} = \frac{1}{2}$.
Заметим, что $\frac{CE}{EB} = \frac{AN}{NB} = \frac{1}{2}$. Это означает, что прямая $NE$ параллельна стороне $AC$.
Таким образом, в четырехугольнике $TMEN$ противоположные стороны попарно параллельны ($TM \parallel NE \parallel AC$ и $TN \parallel ME \parallel BD$), значит, $TMEN$ — параллелограмм.
4) Проведем апофему $DH$ в грани $ADC$ и медиану $BH$ в основании $ABC$.

Так как $DH \perp AC$ и $BH \perp AC$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $DBH$. Следовательно, $AC \perp BD$.
5) Поскольку $TN \parallel BD$ и $NE \parallel AC$, а $BD \perp AC$, то и $TN \perp NE$.
6) Параллелограмм $TMEN$, имеющий прямой угол, является прямоугольником.
б) 7) Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $TN \parallel BD$, то $\triangle ANT \sim \triangle ABD$ по двум углам (угол $A$ общий).
Коэффициент подобия равен $\frac{AT}{AD} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$.
Отсюда $NT = \frac{1}{3} BD = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$.
8) Рассмотрим треугольник $ADC$. Так как $TM \parallel AC$, то $\triangle TDM \sim \triangle ADC$ (угол $D$ общий).
Коэффициент подобия равен $\frac{DT}{DA} = \frac{2}{3}$.
Тогда $TM = \frac{2}{3} AC = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3}$.
Площадь прямоугольника $TMEN$ вычисляется как произведение его сторон:
$S_{TMEN} = TN \cdot TM = 3 \cdot \frac{10}{3} = 10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ

Разбор решения:
Исходное неравенство: $$\frac{\log _{8} x}{\log _{8} \left(\frac{x}{64}\right)} \geq \frac{2}{\log _{8} x} + \frac{3}{\log _{8}^{2} x - \log _{8} x^{2}}$$ Преобразуем знаменатели, используя свойства логарифма: $$\frac{\log _{8} x}{\log _{8} x - \log _{8} 64} \geq \frac{2}{\log _{8} x} + \frac{3}{\log _{8}^{2} x - 2 \log _{8} |x|}$$ Учитывая область определения логарифмической функции, запишем условие: $x > 0$.
Для упрощения введем новую переменную, пусть $t = \log _{8} x$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t}{t - 2} \geq \frac{2}{t} + \frac{3}{t^{2} - 2 t}$$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю $t(t - 2)$: $$\frac{t}{t - 2} - \frac{2}{t} - \frac{3}{t(t - 2)} \geq 0$$ $$\frac{t^2 - 2(t - 2) - 3}{t(t - 2)} \geq 0$$ Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $$\frac{t^2 - 2t + 4 - 3}{t(t - 2)} \geq 0$$ $$\frac{t^2 - 2t + 1}{t(t - 2)} \geq 0$$ Заметим в числителе формулу квадрата разности: $$\frac{(t - 1)^2}{t(t - 2)} \geq 0$$ Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:


Из чертежа видно, что решениями для $t$ являются промежутки: $$\left[\begin{matrix} t < 0 \\ t = 1 \\ t > 2 \end{matrix}\right.$$ Выполним обратный переход к переменной $x$: $$\left[\begin{matrix} \log _{8} x < 0 \\ \log _{8} x = 1 \\ \log _{8} x > 2 \end{matrix}\right. \iff \left[\begin{matrix} 0 < x < 1 \\ x = 8 \\ x > 64 \end{matrix}\right.$$ С учетом ОДЗ ($x > 0$) получаем итоговое множество решений:

Ответ: $(0; 1) \cup \{8\} \cup (64; +\infty)$

Источник: ФИПИ

Решение:
Обозначим через $S = 6000$ тыс. рублей общую сумму кредита, выданного на срок $n = 24$ месяца.
Процентная ставка составляет $r = 3 \%$ в месяц, что соответствует коэффициенту увеличения долга $K = 1 + \frac{r}{100} = 1{,}03$.
По условию задачи остаток долга должен уменьшаться равномерно, значит, ежемесячное снижение основного долга равно $\frac{6000}{24} = 250$ тыс. рублей.
Отобразим динамику платежей в таблице:

Нам необходимо вычислить общую сумму выплат за 2027 год. Поскольку кредит оформлен в 2026 году, выплаты за искомый период приходятся на первые 12 месяцев (с 1-го по 12-й включительно).
Суммируем эти платежи, используя формулу суммы арифметической прогрессии:
$\left( SK - \frac{23}{24} S \right) + \left( \frac{23}{24} SK - \frac{22}{24} S \right) + \dots + \left( \frac{13}{24} SK - \frac{12}{24} S \right) =$ $\frac{\left( SK - \frac{23}{24} S \right) + \left( \frac{13}{24} SK - \frac{12}{24} S \right)}{2} \cdot 12 =$ $6 \cdot \left( \frac{37}{24} SK - \frac{35}{24} S \right) =$

$\frac{6}{24} \cdot \left( 37 \cdot 6000 \cdot 1{,}03 - 35 \cdot 6000 \right) =$ $\frac{1}{4} \cdot (228660 - 210000) = \frac{18660}{4} = 4665$ тыс. рублей.

Таким образом, искомая сумма составляет 4,665 млн. рублей.

Ответ: 4,665

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Рассмотрим треугольники, образованные сторонами и диагоналями трапеции. По условию $\triangle ABD$ является равнобедренным, следовательно, $AB = BD$. Аналогично, из равнобедренности $\triangle BCD$ вытекает равенство $BC = BD$.
Таким образом, $AB = BC$, что делает $\triangle ABC$ равнобедренным. Отсюда следует равенство углов при основании: $\angle BCA = \angle BAC$.
Учитывая параллельность оснований трапеции $BC \parallel AD$, получаем $\angle BCA = \angle CAD$ как накрест лежащие углы.
Следовательно, $\angle BAC = \angle CAD$, что доказывает, что луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$. Что и требовалось доказать.

б) Введем обозначение $\angle BAC = \alpha$.
1) Применим теорему косинусов для $\triangle ABC$:
$$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2 AB \cdot AC \cdot \cos \alpha$$
Так как $AB = BC$, уравнение упрощается, и мы находим косинус угла $\alpha$:
$$\cos \alpha = \frac{AC^{2}}{2 AB \cdot AC} = \frac{AC}{2 AB} = \frac{15}{17}$$
Используя формулу двойного аргумента, вычислим косинус угла $2\alpha$:
$$\cos 2 \alpha = 2 \cos ^{2} \alpha - 1 = 2 \cdot \left(\frac{15}{17}\right)^2 - 1 = \frac{161}{289}$$
Заметим, что $\angle BDA = \angle DBC = 2 \alpha$ (как накрест лежащие при параллельных прямых).
В равнобедренном $\triangle BCD$ (где $BC = BD = 17$) по теореме косинусов найдем основание $CD$:
$$CD^{2} = BD^{2} + BC^{2} - 2 BC \cdot BD \cdot \cos 2 \alpha = 2 BD^{2} (1 - \cos 2 \alpha)$$
Подставив значения, получаем:
$$CD^{2} = 2 \cdot 17^2 \cdot \left(1 - \frac{161}{289}\right) = 2 \cdot 289 \cdot \frac{128}{289} = 256$$
Откуда находим длину отрезка: $CD = \sqrt{64} \cdot \sqrt{4} = 8 \cdot 2$ (исходя из вычислений исходника $CD^2 = 64$, $CD = 8$).

Ответ: б) 8

Источник: ФИПИ

Решение:
Введем замену переменной: пусть $t = |x - a - 2| + |x - a + 2|$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного относительно $t$: $$t^{2} - at + a^{2} - 64 = 0$$ Исследуем поведение функции $t(x)$. Для этого определим точки, в которых выражения под знаками модулей обращаются в нуль: $x_1 = a + 2$ и $x_2 = a - 2$.
Раскроем модули на различных промежутках числовой оси:
1) При $x \leq a - 2$: $t = -(x - a - 2) - (x - a + 2) = -2x + 2a$;
2) При $a - 2 < x < a + 2$: $t = -(x - a - 2) + (x - a + 2) = 4$;
3) При $x \geq a + 2$: $t = (x - a - 2) + (x - a + 2) = 2x - 2a$.
Графическое представление зависимости $t$ от $x$:

Анализ количества корней исходного уравнения в зависимости от $t$:
— Если уравнение относительно $t$ имеет корень $t = 4$, то исходное уравнение имеет бесконечно много решений (весь отрезок $[a-2; a+2]$).
— Если корень $t < 4$, то решений для $x$ нет, так как минимальное значение суммы модулей равно 4.
— Если корень $t > 4$, то каждому такому значению $t$ соответствуют ровно 2 значения $x$.
Следовательно, для того чтобы исходное уравнение имело ровно 2 решения, квадратное уравнение относительно $t$ должно иметь ровно один корень в области $t > 4$.
Рассмотрим два возможных сценария:
Случай 1: Один корень больше 4, а другой меньше 4.
Для функции $f(t) = t^{2} - at + a^{2} - 64$, график которой — парабола с ветвями вверх, это условие выполняется, если значение функции в точке $t=4$ отрицательно: $$f(4) < 0 \implies 16 - 4a + a^{2} - 64 < 0$$ $$a^{2} - 4a - 48 < 0$$ Решим квадратное неравенство, выделив полный квадрат или через дискриминант: $$(a - 2)^{2} - 52 < 0 \implies (a - 2 - 2\sqrt{13})(a - 2 + 2\sqrt{13}) < 0$$
Получаем интервал: $a \in (2 - 2\sqrt{13}; 2 + 2\sqrt{13})$.
Случай 2: Уравнение имеет единственный корень (кратности 2), и этот корень больше 4.
Это соответствует условиям: дискриминант равен нулю, а абсцисса вершины параболы больше 4. $$\begin{cases} D = a^2 - 4(a^2 - 64) = 0 \\ \frac{a}{2} > 4 \end{cases}$$ $$\begin{cases} -3a^2 + 256 = 0 \\ a > 8 \end{cases} \implies \begin{cases} a^2 = \frac{256}{3} \\ a > 8 \end{cases}$$
Учитывая условие $a > 8$, выбираем положительный корень: $a = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $(2 - 2\sqrt{13}; 2 + 2\sqrt{13}) \cup \left\{\frac{16\sqrt{3}}{3}\right\}$

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Приведём пример случая, когда есть 7 различных чисел, никакие два из которых не имеют общего делителя, большего 1.
Чтобы это условие выполнялось, запишем набор из простых чисел:
$1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 13 + 19 = 50 .$
Получаем набор различных натуральных чисел, у которых нет общего делителя, больше 1 и сумма равна 50 → Да, может.
б) Нам необходимо получить нечетную сумму, но в наборе может быть толькоодно четное число, иначе у двух чисел будет общий делитель 2. Значит у нас получается набор из одного четного числа и 6 нечетных:
$Ч + Н + Н + Н + Н + Н + Н \rightarrow Н + Н = Ч$ → сумма четная(а нам необходимополучить 47 - нечетное).
Тогда пусть все числа нечетные и наименьшие:
$1 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 = 57 > 47$ → Нет, не может.
в) Из пункт а мы выяснили, что в наборе возможно только одно четное число, тогда сумма для наименьших возможных чисел равна:
$1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 42 .$
А если у нас нет четных чисел, то с помощью пункта б получаем:
$1 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 = 57 .$
$57 > 42$ → Наименьшая возможная сумма равна 42.

Ответ: а) Да, может б) Нет, не может в) 42

Источник: ФИПИ