Вариант 6 · Июль 2026

Решение:
Рассмотрим уравнение: $\frac{\log _{2}^{2} ( \sin x ) + \log _{2} ( \sin x )}{2 \cos x + \sqrt{3}} = 0 .$

Сначала определим область допустимых значений. Дробь имеет смысл и определена, если аргумент логарифма положителен, а знаменатель не равен нулю:
$\left\{\begin{matrix} \sin x > 0 \\ 2 \cos x + \sqrt{3} \neq 0 \end{matrix}\right.$ или $\left\{\begin{matrix} \sin x > 0 \\ \cos x \neq - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.$

При соблюдении этих условий приравняем числитель к нулю:
$\log _{2}^{2} ( \sin x ) + \log _{2} ( \sin x ) = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\log _{2} ( \sin x ) \cdot ( \log _{2} ( \sin x ) + 1 ) = 0$
Отсюда получаем два возможных случая:
1) $\log _{2} ( \sin x ) = 0 \Rightarrow \sin x = 2^0 \Rightarrow \sin x = 1$
Получаем серию корней: $x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k , k \in \mathbb{Z}$.
2) $\log _{2} ( \sin x ) = - 1 \Rightarrow \sin x = 2^{-1} \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$
Это дает две серии: $x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z}$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Точка $x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n$ исключается, так как в ней $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Остальные значения удовлетворяют всем условиям. Таким образом, решениями являются: $x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k$ и $x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi n$.

б) Выполним отбор корней, принадлежащих заданному отрезку $\left[0 ; \frac{3 \pi}{2}\right]$, используя тригонометрический круг.

В указанный промежуток попадают значения: $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2 \pi k , k \in \mathbb{Z};$ $\frac{\pi}{6} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}$

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABD$ и $ACD$. У них катет $AD$ является общим, а гипотенузы равны по условию ($AB = AC$). Из равенства треугольников по катету и гипотенузе следует, что их вторые катеты также равны: $BD = CD$. Что и требовалось доказать.

б) Вычислим длины ребер пирамиды. Поскольку треугольник $BCD$ прямоугольный и равнобедренный, его катеты находятся через гипотенузу $BC$:
$$BD = CD = \frac{BC}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5.$$
Так как по условию $AD = BD$, то $AD = 5$. Теперь определим длины сторон сечения — треугольника $MNB$.
Используя теорему Пифагора для соответствующих граней, получим:
$MB = NB = \sqrt{BD^{2} + DN^{2}} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29},$
$MN = \sqrt{MD^{2} + DN^{2}} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}.$
Для нахождения площади равнобедренного треугольника $MNB$ проведем высоту к основанию $MN$. Длина этой высоты составит:
$$h = \sqrt{MB^{2} - \left(\frac{MN}{2}\right)^{2}} = \sqrt{29 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}.$$
Тогда искомая площадь треугольника равна:
$$S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{3} = 3 \sqrt{6}.$$

Критерии оценивания:
3 балла — представлено корректное доказательство в пункте (а) и получен верный результат в пункте (б).
2 балла — верно выполнен пункт (б), либо доказан пункт (а) и при верном ходе решения пункта (б) допущена вычислительная ошибка.
1 балл — доказан только пункт (а), либо пункт (б) выполнен верно без доказательства пункта (а), либо в пункте (б) допущена арифметика при верном алгоритме.
0 баллов — решение не подходит под описание выше.

Ответ: б) $3 \sqrt{6}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $\frac{\log _{2} ( 4 x^{2} ) + 35}{\log _{2}^{2} x - 36} \geq - 1$.
Начнём с области допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным, то есть $x > 0$.
Преобразуем числитель, используя свойства логарифма произведения и степени: $\log_{2}(4x^2) = \log_{2}4 + \log_{2}x^2 = 2 + 2\log_{2}x$.
Тогда выражение примет вид: $\frac{2 + 2\log_{2}x + 35}{\log_{2}^{2} x - 36} \geq - 1$.
Для упрощения вычислений введём новую переменную $t = \log_{2} x$.
Получаем рациональное неравенство:
$\frac{2t + 37}{t^2 - 36} + 1 \geq 0$;
Приведём к общему знаменателю:
$\frac{2t + 37 + t^2 - 36}{t^2 - 36} \geq 0$;
$\frac{t^2 + 2t + 1}{t^2 - 36} \geq 0$.
Разложим числитель по формуле квадрата суммы, а знаменатель — по разности квадратов:
$\frac{(t + 1)^2}{(t - 6)(t + 6)} \geq 0$.
Решим полученное неравенство методом интервалов:

Анализируя знаки на числовой прямой, получаем совокупность условий для $t$:
$t \in (-\infty; -6) \cup \{-1\} \cup (6; +\infty)$.
Перейдём обратно к переменной $x$:
$\left[\begin{matrix} \log_{2} x < -6 \\ \log_{2} x = -1 \\ \log_{2} x > 6 \end{matrix}\right.$
Учитывая, что логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, получаем:
$\left[\begin{matrix} x < 2^{-6} \\ x = 2^{-1} \\ x > 2^6 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow$ $\left[\begin{matrix} x < \frac{1}{64} \\ x = \frac{1}{2} \\ x > 64 \end{matrix}\right.$
С учётом условия $x > 0$, запишем итоговый интервал.

Ответ: $\left(0; \frac{1}{64}\right) \cup \left\{\frac{1}{2}\right\} \cup (64; +\infty)$

Источник: ФИПИ

Решение:
Обозначим через $S = 6000$ тыс. рублей общую сумму кредита, выданного на срок $n = 24$ месяца.
Процентная ставка составляет $r = 3 \%$ в месяц, что соответствует коэффициенту увеличения долга $K = 1 + \frac{r}{100} = 1{,}03$.
По условию задачи остаток долга должен уменьшаться равномерно, значит, ежемесячное снижение основного долга равно $\frac{6000}{24} = 250$ тыс. рублей.
Отобразим динамику платежей в таблице:

Нам необходимо вычислить общую сумму выплат за 2027 год. Поскольку кредит оформлен в 2026 году, выплаты за искомый период приходятся на первые 12 месяцев (с 1-го по 12-й включительно).
Суммируем эти платежи, используя формулу суммы арифметической прогрессии:
$\left( SK - \frac{23}{24} S \right) + \left( \frac{23}{24} SK - \frac{22}{24} S \right) + \dots + \left( \frac{13}{24} SK - \frac{12}{24} S \right) =$ $\frac{\left( SK - \frac{23}{24} S \right) + \left( \frac{13}{24} SK - \frac{12}{24} S \right)}{2} \cdot 12 =$ $6 \cdot \left( \frac{37}{24} SK - \frac{35}{24} S \right) =$

$\frac{6}{24} \cdot \left( 37 \cdot 6000 \cdot 1{,}03 - 35 \cdot 6000 \right) =$ $\frac{1}{4} \cdot (228660 - 210000) = \frac{18660}{4} = 4665$ тыс. рублей.

Таким образом, искомая сумма составляет 4,665 млн. рублей.

Ответ: 4,665

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$, вписанный в окружность. Острые углы $ACB$ и $CAD$ опираются на хорды $AB$ и $CD$ соответственно. Так как по условию $AB = CD$, то и соответствующие вписанные углы равны: $\angle ACB = \angle CAD$. Равенство этих накрест лежащих углов доказывает параллельность прямых $BC$ и $AD$. По аналогии, из равенства хорд $BC$ и $DE$ вытекает параллельность $CD$ и $BE$.
Таким образом, фигуры $ABCD$ и $BCDE$ представляют собой равнобедренные трапеции. Из свойств таких трапеций следует равенство их диагоналей: $AC = BD = CE$.
б) Пусть $M$ — точка, в которой пересекаются отрезки $AD$ и $BE$. В четырёхугольнике $BCDM$ противоположные стороны попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм. Отсюда имеем: $BM = CD = AB = 3$ и $DM = BC = DE = 4$. Заметим, что треугольники $ABM$ и $MDE$ являются равнобедренными, так как $\angle BAM = \angle AMB$ (внешний угол при основании трапеции) и $\angle DME = \angle DEM$ (вертикальные и накрест лежащие углы). Эти треугольники подобны, а их коэффициент подобия равен $k = \frac{DE}{AB} = \frac{4}{3}$. Используя подобие, вычислим отрезок $ME$:
$ME = \frac{DE}{AB} \cdot AM = \frac{4}{3} \cdot (AD - DM) = \frac{4}{3} \cdot (6 - 4) = \frac{8}{3}$.
Найдём длину всей диагонали $BE$ как сумму длин её частей:
$BE = BM + ME = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$.

Ответ: $\frac{17}{3}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим исходное уравнение: $\left(x + \ln \left(x + a\right)\right)^{2} = \left(x - \ln \left(x + a\right)\right)^{2}$. Нам необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке $\left[0 ; 1\right]$.
Перенесем все слагаемые в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$\left(x + \ln \left(x + a\right)\right)^{2} - \left(x - \ln \left(x + a\right)\right)^{2} = 0$
Раскроем скобки внутри множителей:
$\left(x + \ln(x + a) - x + \ln(x + a)\right) \cdot \left(x + \ln(x + a) + x - \ln(x + a)\right) = 0$
Упростив выражение, получим:
$2 \ln(x + a) \cdot 2x = 0$
Разделим обе части на 4 и учтем область определения логарифма ($x + a > 0$):
$x \cdot \ln(x + a) = 0$
Данное уравнение распадается на два случая:
1) $x_1 = 0$. Чтобы этот корень существовал, должно выполняться условие $0 + a > 0$, то есть $a > 0$.
2) $\ln(x + a) = 0$, откуда $x + a = 1$, следовательно, $x_2 = 1 - a$.
Выясним, когда корень $x_2 = 1 - a$ попадает в заданный отрезок $[0; 1]$ и удовлетворяет ОДЗ:
$\begin{cases} (1 - a) + a > 0 \\ 0 \leq 1 - a \leq 1 \end{cases}$
Первое неравенство $1 > 0$ верно при любых $a$. Из второго условия получаем:
$-1 \leq -a \leq 0 \Rightarrow 0 \leq a \leq 1$.
Таким образом, корень $x_2$ лежит на отрезке $[0; 1]$ при $a \in [0; 1]$.
Исследуем случай совпадения корней: $x_1 = x_2$ при $0 = 1 - a$, что дает $a = 1$.
Проанализируем количество решений в зависимости от $a$:
- Если $a \leq 0$, то $x_1 = 0$ не является корнем. При этом если $0 \leq a \leq 1$, то есть только корень $x_2$. При $a = 0$ имеем единственный корень $x_2 = 1$.
- Если $0 < a < 1$, то оба значения $x_1 = 0$ и $x_2 = 1 - a$ являются различными корнями на отрезке $[0; 1]$ (всего 2 корня).
- Если $a = 1$, корни совпадают ($x_1 = x_2 = 0$), получаем 1 корень.
- Если $a > 1$, то $x_2 < 0$ (не входит в отрезок), и остается только один корень $x_1 = 0$.

Ответ: $\{0\} \cup [1; +\infty)$

Источник: ФИПИ

Решение:
Обозначим через $x$ количество юношей, отправивших по 5 писем, а через $y$ — количество юношей, отправивших по 16 писем. Согласно условию, общее число юношей совпадает с числом девушек, следовательно, в группе $x + y$ девушек. Суммарное количество писем, отправленных юношами, выражается формулой $5x + 16y$.
а) Проверим, достижима ли ситуация, когда каждая девушка получила ровно по 7 писем. Составим уравнение:
$5x + 16y = 7(x + y)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$5x + 16y = 7x + 7y$
$9y = 2x$
Данное уравнение имеет решение в натуральных числах, например: $x = 9$ и $y = 2$.
В этом случае 9 юношей отправили по 5 писем, а 2 юноши — по 16 писем. Всего было отправлено $9 \cdot 5 + 2 \cdot 16 = 45 + 32 = 77$ писем. Так как девушек в группе $9 + 2 = 11$, и каждая получила по 7 писем, общее число полученных писем также равно $11 \cdot 7 = 77$.
Значит, такая ситуация возможна.
б) Пусть каждая девушка получила по $n$ писем. Тогда общее количество писем должно удовлетворять равенству $5x + 16y = n(x + y)$.
Преобразуем выражение:
$16y - ny = nx - 5x$
$y(16 - n) = x(n - 5)$
Отсюда следует, что отношение $x/y = (16 - n)/(n - 5)$. Чтобы найти минимально возможное общее количество человек, возьмем наименьшие целые значения для $x$ и $y$, соответствующие этому отношению: $x = 16 - n$ и $y = n - 5$.
Тогда число девушек в группе составит:
$x + y = (16 - n) + (n - 5) = 11$.
Таким образом, если количество полученных писем у всех девушек одинаково, их число всегда будет кратно 11.
в) Пусть $z$ — общее количество юношей (и, соответственно, девушек). Если $x$ юношей отправили по 5 писем, то остальные $z - x$ человек отправили по 16 писем. Общее число писем: $5x + 16(z - x)$.
По условию все девушки получили разное количество писем. Чтобы максимизировать число девушек, предположим, что они получили минимально возможные различные количества писем, начиная с нуля: $0, 1, 2, \dots, z-1$.
Сумма такой арифметической прогрессии равна $\frac{z(z - 1)}{2}$.
Следовательно, должно выполняться неравенство:
$5x + 16(z - x) \geq \frac{z(z - 1)}{2}$
Учитывая, что $x \geq 0$, оценим максимальное значение левой части как $16z$:
$16z \geq \frac{z(z - 1)}{2} \Rightarrow 32 \geq z - 1 \Rightarrow z \leq 33$.
Проверим значение $z = 32$:
$5x + 16(32 - x) \geq \frac{32 \cdot 31}{2}$
$5x + 512 - 16x \geq 496$
$11x \leq 16$. Так как по условию юношей, отправивших разное количество писем, не менее двух, то $x \geq 1$ и $z-x \geq 1$. Однако при $x=1$ условие выполняется, но нужно проверить целые решения для распределения писем. При $z=32$ и $x=1$ писем $501$, а сумма от $0$ до $31$ равна $496$. Но при $x \geq 2$ решений нет.
Проверим $z = 31$:
$5x + 16(31 - x) \geq \frac{31 \cdot 30}{2}$
$5x + 496 - 16x \geq 465$
$11x \leq 31$. Это возможно при $x = 1$ или $x = 2$.
При $x = 2$ получаем $5 \cdot 2 + 16 \cdot 29 = 10 + 464 = 474$ письма, что больше минимально необходимой суммы $465$.
Следовательно, наибольшее возможное число девушек равно 31.

Ответ: а) да; б) 11; в) 31

Источник: ФИПИ