Вариант 7 · Июль 2026

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $2 \sin ^{2} x + \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos x$.
Применим формулу синуса суммы для раскрытия скобок:
$2 \sin ^{2} x + \sqrt{2} \left(\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}\right) - \cos x = 0$.
Подставим значения $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
$2 \sin ^{2} x + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \cos x = 0$.
После упрощения коэффициентов получаем:
$2 \sin ^{2} x + \sin x + \cos x - \cos x = 0$,
$2 \sin ^{2} x + \sin x = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$\sin x (2 \sin x + 1) = 0$.
Данное уравнение распадается на два случая:
1) $\sin x = 0$, откуда $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = - \frac{1}{2}$.
Решениями для синуса будут серии: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ (или $\frac{11\pi}{6} + 2\pi n$) и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ (или $\frac{7\pi}{6} + 2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$.

б) С помощью тригонометрической окружности выберем корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[- 2 \pi ; - \frac{\pi}{2}\right]$.

На указанном отрезке находятся точки:
$x = -2\pi$,
$x = -\pi$,
$x = -\pi + \frac{\pi}{6} = - \frac{5 \pi}{6}$.
Ответ: а) $\pi n, \frac{7 \pi}{6} + 2 \pi n, \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $- 2 \pi, - \pi, - \frac{5 \pi}{6}$.

Источник: ФИПИ

Решение:

Дана четырёхугольная пирамида, в основании которой лежит трапеция $ABCD$. Известны параметры: $AD = 8$, $BC = 3$. Точки на рёбрах заданы отношениями $SM : MD = 3 : 2$ и $BN : NC = 1 : 2$.
а) 1) Выполним дополнительное построение: продлим прямую $AN$ до её пересечения с прямой $CD$. Обозначим точку пересечения как $E$.
2) Проведём отрезок $EM$. Пусть он пересекает ребро $SC$ в точке $K$. Также соединим точки $A$ и $M$.
3) Определим длины отрезков на основании $BC$. Пусть $BN = x$, тогда $NC = 2x$. Так как $BC = 3x = 3$, получаем $BN = 1$ и $NC = 2$.
4) Рассмотрим треугольники $NEC$ и $AED$. У них угол $\angle AED$ является общим, а $\angle BCE = \angle ADE$ как соответственные при параллельных прямых. Следовательно, $\triangle NEC \sim \triangle AED$.
Из подобия находим коэффициент: $\frac{NC}{AD} = \frac{EC}{ED} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
5) Перейдём к рассмотрению грани $SCD$:

Применим теорему Менелая для треугольника $SCD$ и прямой $EMK$: $\frac{SK}{KC} \cdot \frac{CE}{ED} \cdot \frac{DM}{MS} = 1$.
Подставим известные отношения: $\frac{SK}{KC} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = 1$.
Отсюда получаем $\frac{SK}{KC} \cdot \frac{1}{6} = 1$, то есть $SK : KC = 6 : 1$. Что и требовалось доказать.
б) 6) Пусть $SO$ — перпендикуляр (высота) пирамиды к плоскости основания, а $MH$ — перпендикуляр из точки $M$ на основание.
7) Треугольники $SDO$ и $MDH$ подобны по двум углам (общий угол при вершине $D$ и прямые углы при основаниях высот).
Тогда $\frac{MH}{SO} = \frac{MD}{SD} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$, значит, $MH = \frac{2}{5} SO$.
8) Выразим площади через высоту трапеции $h$:
$S_{ANCD} = \frac{NC + AD}{2} \cdot h = \frac{2 + 8}{2} \cdot h = 5h$.
$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{3 + 8}{2} \cdot h = \frac{11}{2}h$.
9) Рассмотрим сечение плоскостью $SOC$:

Аналогично подобию высот, из $\triangle SOC \sim \triangle KH_1C$ следует: $\frac{KH_1}{SO} = \frac{KC}{SC}$.
Так как $SK : KC = 6 : 1$, то $SC = 7 \cdot KC$, следовательно, $\frac{KH_1}{SO} = \frac{1}{7}$, то есть $KH_1 = \frac{1}{7} SO$.
10) Из подобия $\triangle NEC \sim \triangle AED$ с коэффициентом $k = \frac{1}{4}$ следует, что их площади относятся как $k^2$:
$S_{AED} = 16 S_{NEC}$.
Площадь трапеции $ANCD$ можно представить как разность: $S_{ANCD} = S_{AED} - S_{NEC} = 15 S_{NEC}$.
11) Объём части $ANCDKM$ найдём как разность объёмов пирамид $EADM$ и $EKNC$:
$V_{ANCDKM} = \frac{1}{3} \cdot MH \cdot S_{AED} - \frac{1}{3} \cdot KH_1 \cdot S_{NEC} =$
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} SO \cdot 16 S_{NEC} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} SO \cdot S_{NEC} = \left( \frac{32}{15} - \frac{1}{21} \right) SO \cdot S_{NEC} = \frac{219}{105} SO \cdot S_{NEC}$.
12) Свяжем это с общим объёмом. Так как $S_{ANCD} = 5h = 15 S_{NEC}$, то $S_{NEC} = \frac{1}{3} h$.
Полный объём пирамиды $V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot SO \cdot \frac{11}{2} h = \frac{11}{6} SO \cdot h$.
Объём второй части $V_{ABNKMS} = V_{SABCD} - V_{ANCDKM}$.
Вычислим $V_{ANCDKM} = \frac{219}{105} SO \cdot \frac{h}{3} = \frac{73}{105} SO \cdot h$.
Тогда $V_{ABNKMS} = \frac{11}{6} SO \cdot h - \frac{73}{105} SO \cdot h = \frac{385 - 146}{210} SO \cdot h = \frac{239}{210} SO \cdot h$.
Найдём искомое отношение объёмов:
$\frac{V_{ABNKMS}}{V_{ANCDKM}} = \frac{239}{210} : \frac{73}{105} = \frac{239}{210} \cdot \frac{105}{73} = \frac{239}{146}$.

Ответ: $\frac{239}{146}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим неравенство: $\log _{11} \left(8 x^{2} + 7\right) - \log _{11} \left(x^{2} + x + 1\right) \geq \log _{11} \left(\frac{x}{x + 5} + 7\right)$.
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):

$\left\{\begin{matrix} 8 x^{2} + 7 > 0 \\ x^{2} + x + 1 > 0 \\ \frac{x}{x + 5} + 7 > 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow$

$\left\{\begin{matrix} x \in \mathbb{R} \\ x \in \mathbb{R} \\ \frac{x + 7(x + 5)}{x + 5} > 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x \in \mathbb{R} \\ x \in \mathbb{R} \\ \frac{8 x + 35}{x + 5} > 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow$

$\Rightarrow x \in ( - \infty ; - 5 ) \cup ( - \frac{35}{8} ; + \infty )$

Преобразуем левую часть по свойству разности логарифмов и упростим аргумент справа:
$\log _{11} \left(\frac{8 x^{2} + 7}{x^{2} + x + 1}\right) \geq \log _{11} \left(\frac{8 x + 35}{x + 5}\right)$

Так как основание логарифмической функции $11 > 1$, функция является возрастающей. Переходим к сравнению аргументов с сохранением знака неравенства:
$\frac{8 x^{2} + 7}{x^{2} + x + 1} \geq \frac{8 x + 35}{x + 5}$
$\frac{8 x^{2} + 7}{x^{2} + x + 1} - \frac{8 x + 35}{x + 5} \geq 0$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{( 8 x^{2} + 7 ) ( x + 5 ) - ( 8 x + 35 ) ( x^{2} + x + 1 )}{( x^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} \geq 0$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{8 x^{3} + 40 x^{2} + 7 x + 35 - ( 8 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 35 x^{2} + 35 x + 35 )}{( x^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} \geq 0 \\ \frac{8 x^{3} + 40 x^{2} + 7 x + 35 - 8 x^{3} - 43 x^{2} - 43 x - 35}{( x^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} \geq 0$
После приведения подобных слагаемых получаем:
$\frac{- 3 x^{2} - 36 x}{( x^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} \geq 0$
Разделим обе части на $-3$, меняя знак неравенства:
$\frac{x^{2} + 12 x}{( x^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} \leq 0$
$\frac{x ( x + 12 )}{( x^{2} + x + 1 ) ( x + 5 )} \leq 0$
Заметим, что квадратный трехчлен $x^2 + x + 1$ всегда положителен (дискриминант $D < 0$). Решим методом интервалов:

Промежуточное решение: $x \in ( - \infty ; - 12 ] \cup ( - 5 ; 0 ]$

С учетом найденных ранее ограничений (ОДЗ) окончательно имеем:
$x \in ( - \infty ; - 12 ] \cup ( - \frac{35}{8} ; 0 ] .$

Ответ: $x \in ( - \infty ; - 12 ] \cup ( - \frac{35}{8} ; 0 ]$

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:

Обозначим через $S$ первоначальную сумму кредита.

Сценарий №1:
Процентная ставка составляет $r = 18 \%.$ Кредит погашается двумя равными ежегодными платежами $x$.
Составим уравнение динамики задолженности:
После первого года остаток долга: $S \cdot 1{,}18 - x$.
После второго года долг полностью закрыт:
$(S \cdot 1{,}18 - x) \cdot 1{,}18 - x = 0$
Раскроем скобки и выразим $x$:
$1{,}3924 S - 2{,}18 x = 0$
$x = \frac{1{,}3924 S}{2{,}18}$. Подставив значение $S = 1962$ тыс., получим $x = 1253{,}16$ тыс. руб.
Общий объем выплат банку составит: $2x = 1253{,}16 \cdot 2 = 2506{,}32$ тыс. руб.

Сценарий №2:
Процентная ставка $r = 2 \%$ в месяц, срок — 24 месяца. Кредит погашается по схеме дифференцированных платежей (долг уменьшается равномерно).
Начисленные проценты за весь период вычисляются как сумма арифметической прогрессии от остатков долга:
$I = S \cdot 0{,}02 \cdot \left( \frac{24}{24} + \frac{23}{24} + \frac{22}{24} + \dots + \frac{1}{24} \right)$
Итоговая сумма выплат (тело кредита плюс проценты):
$P = S + S \cdot 0{,}02 \cdot \left( \frac{1 + \frac{1}{24}}{2} \cdot 24 \right) = S + S \cdot 0{,}02 \cdot 12{,}5 = S + 0{,}25 S = 1{,}25 S$.
При $S = 1962$ тыс. руб. общая выплата составит:
$1{,}25 \cdot 1962 = 2452{,}5$ тыс. руб.

Сравнение вариантов:
Второй вариант оказывается экономичнее. Рассчитаем разницу в расходах:
$2506{,}32 - 2452{,}5 = 53{,}82$ тыс. руб.

Переведем результат в рубли: $53{,}82 \cdot 1000 = 53820$ рублей.

Ответ: 53820 рублей

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $C_{1} B_{1}$ является его средней линией, следовательно, $C_{1} B_{1} \parallel BC$, а значит и $C_{1} B_{1} \parallel A_{1} H$.
Аналогично, $A_{1} C_{1}$ — средняя линия, и её длина составляет $A_{1} C_{1} = \frac{1}{2} AC$.
В прямоугольном треугольнике $ACH$ отрезок $HB_{1}$ является медианой, проведенной к гипотенузе из вершины прямого угла, поэтому $HB_{1} = \frac{1}{2} AC$. Таким образом, $A_{1} C_{1} = HB_{1}$.
Четырёхугольник $A_{1} H B_{1} C_{1}$ является равнобедренной трапецией, а любая равнобедренная трапеция является вписанной в окружность. Утверждение доказано.

б) Поскольку $B_{1} C_{1}$ — средняя линия треугольника $ABC$, её длина равна $B_{1} C_{1} = \frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ подобен исходному треугольнику $ABC$ по трем пропорциональным сторонам.
Применим теорему синусов для треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$: $\frac{B_{1} C_{1}}{\sin \angle A_{1}} = 2 R$, где $R$ — радиус окружности, описанной около трапеции $A_{1} H B_{1} C_{1}$.
Отсюда находим радиус: $R = \frac{B_{1} C_{1}}{2 \sin \angle A_{1}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2}$.
В треугольнике $A_{1} C_{1} H$ вычислим угол $\angle A_{1} C_{1} H$: он равен $180^{\circ} - \angle HA_{1} C_{1} - \angle A_{1} HC_{1} = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 105^{\circ} = 30^{\circ}$.
Снова воспользуемся теоремой синусов для нахождения стороны $A_{1} H$:
$A_{1} H = 2 R \cdot \sin \angle A_{1} C_{1} H = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 30^{\circ} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: б) $\frac{1}{2}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} \left(x^{2} + y^{2} + 4 x\right) \cdot \sqrt{2 x + y + 6} = 0 \\ y = x + a \end{matrix}\right.$
Первое уравнение распадается на совокупность при условии соблюдения области определения (под коренное выражение должно быть неотрицательным):
$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x^{2} + 4 x + y^{2} = 0 \\ 2 x + y + 6 = 0 \end{matrix}\right. \\ y = x + a \\ 2 x + y + 6 \geq 0 \end{matrix}\right.$
Преобразуем уравнение окружности, выделив полный квадрат, и выразим $y$ из условия для корня:
$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} (x + 2)^{2} + y^{2} = 4 \\ y = - 2 x - 6 \end{matrix}\right. \\ y = x + a \\ y \geq - 2 x - 6 \end{matrix}\right.$
Графиком первого уравнения совокупности является окружность с центром в точке $(-2; 0)$ и радиусом $R=2$. Второе уравнение — это прямая $y = -2x - 6$. Условие $y \geq -2x - 6$ задает полуплоскость выше этой прямой.

Для построения прямой $y = -2x - 6$ воспользуемся контрольными точками:

Проанализируем количество решений в зависимости от параметра $a$, который отвечает за сдвиг прямой $y = x + a$.
1. Найдем значение $a$, при котором прямая $y = x + a$ (или $x - y + a = 0$) касается окружности в нижней части. Используем формулу расстояния от центра $(-2; 0)$ до прямой, которое должно быть равно радиусу $2$:
$2 = \frac{\left|1 \cdot (-2) - 1 \cdot 0 + a\right|}{\sqrt{1^{2} + (-1)^{2}}}$
$\left|a - 2\right| = 2 \sqrt{2}$
Отсюда получаем два значения:
$a - 2 = 2 \sqrt{2} \Rightarrow a = 2 \sqrt{2} + 2$
$a - 2 = - 2 \sqrt{2} \Rightarrow a = 2 - 2 \sqrt{2}$
Значение $a = 2 - 2 \sqrt{2}$ соответствует первому случаю касания, а $a = 2 \sqrt{2} + 2$ — четвертому (верхнему) случаю касания.

2. Определим точки пересечения окружности $(x + 2)^{2} + y^{2} = 4$ и граничной прямой $y = -2x - 6$:
$(x + 2)^{2} + (-2x - 6)^{2} = 4$
$x^{2} + 4x + 4 + 4x^{2} + 24x + 36 = 4$
$5x^{2} + 28x + 36 = 0$
Вычислим дискриминант: $D = 28^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 36 = 784 - 720 = 64$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-28 + 8}{10} = -2$
$x_2 = \frac{-28 - 8}{10} = -3,6$
Соответствующие значения $y$:
Для $x = -2$: $y = -2(-2) - 6 = -2$.
Для $x = -3,6$: $y = -2(-3,6) - 6 = 1,2$.
Теперь найдем значения параметра $a$ для этих точек, подставив их в $y = x + a$:
Для точки $(-2; -2)$: $-2 = -2 + a \Rightarrow a = 0$.
Для точки $(-3,6; 1,2)$: $1,2 = -3,6 + a \Rightarrow a = 4,8$.

Объединяя полученные результаты и учитывая область допустимых значений (часть окружности, лежащую выше прямой), получаем искомые значения параметра.

Ответ: $\{2 - 2 \sqrt{2}\} \cup [0; 4,8] \cup \{2 \sqrt{2} + 2\}$

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Такое возможно. В качестве примера рассмотрим ряд натуральных чисел от 69 до 138 включительно. В этом наборе ровно 70 чисел. Среди них кратными 20 являются три числа: $80, 100, 120$. Чисел, которые делятся на 23, здесь четыре: $69, 92, 115, 138$. Условие выполняется: $4 > 3$.
б) Предположим, что в некоторой последовательности ровно 10 чисел кратны 20. Согласно условию, количество чисел, делящихся на 23, должно быть как минимум 11. Чтобы в наборе оказалось 11 чисел, кратных 23, его длина должна составлять не менее $23 \cdot 10 + 1 = 231$ числа (так как между первым и одиннадцатым такими числами укладывается 10 полных интервалов по 23). Оценим количество чисел, кратных 20, в ряду из 231 числа. Если мы разобьем ряд на блоки по 20 чисел, то в каждом полном блоке будет ровно одно кратное 20. В остатке может быть не более 19 чисел. Количество чисел, делящихся на 20, в такой последовательности будет не меньше, чем $\frac{231 - 19}{20} = 10{,}6$. То есть их будет как минимум 11, что противоречит нашему предположению о 10 числах. Следовательно, ответ — нет.
в) Обозначим через $x$ количество чисел в наборе, которые делятся на 20. Тогда количество чисел, кратных 23, должно быть не меньше $x + 1$. Для того чтобы в последовательности было $x + 1$ число, кратное 23, её длина $k$ должна удовлетворять условию $k \geq 23 \cdot x + 1$. С другой стороны, количество чисел, кратных 20, в последовательности длиной $k$ оценивается снизу как $\frac{k - 19}{20}$. Подставим минимально возможную длину $k$: $$x \geq \frac{23x + 1 - 19}{20} \Rightarrow x \geq \frac{23x - 18}{20}$$ Решим полученное неравенство: $$20x \geq 23x - 18$$ $$3x \leq 18 \Rightarrow x \leq 6$$ Таким образом, максимальное количество чисел, кратных 20, равно 6. Максимальная длина последовательности $k$, при которой в ней может быть ровно $x$ чисел, кратных 20, ограничена сверху: $k \leq 20x + 19$. При $x = 6$ получаем: $k \leq 20 \cdot 6 + 19 = 139$. Примером такой последовательности может служить отрезок от 161 до 299. Здесь 7 чисел делятся на 23 ($161, 184, 207, 230, 253, 276, 299$) и 6 чисел делятся на 20 ($180, 200, 220, 240, 260, 280$).

Ответ: а) да; б) нет; в) 139

Источник: ФИПИ