Вариант 8 · Июль 2026

Решение:
а) Рассмотрим уравнение: $2 \cos ^{3} x + \sqrt{3} \cos ^{2} x + 2 \cos x + \sqrt{3} = 0$.
Для удобства введем новую переменную, пусть $\cos x = t$. Тогда уравнение примет вид:
$2 t^{3} + \sqrt{3} t^{2} + 2 t + \sqrt{3} = 0$.
Выполним группировку слагаемых:
$t^2(2t + \sqrt{3}) + (2t + \sqrt{3}) = 0$
$(2t + \sqrt{3})(t^2 + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $t^2 + 1 = 0 \Rightarrow t^2 = -1$. Данное уравнение не имеет действительных корней.
2) $2t + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow 2t = -\sqrt{3} \Rightarrow t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вернемся к переменной $x$:
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Отсюда получаем две серии решений:
$x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$;
$x = -\frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) Произведем отбор корней на заданном промежутке $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$ с помощью тригонометрической окружности:

Найдем значения, попавшие в указанную дугу:
$x_1 = -\pi - \frac{\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$;
$x_2 = -\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.

Критерии оценивания:
— 2 балла: Верно выполнены оба пункта задания.
— 1 балл: Правильно решен только пункт а), ЛИБО допущена одна арифметическая ошибка, не изменившая логику решения, при которой шаги пунктов а) и б) остаются верными.
— 0 баллов: Решение не удовлетворяет вышеуказанным требованиям.

Ответ:
а) $\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
б) $-\frac{7\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6}$.

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Проведем через точку $O$ прямую $MN$, параллельную ребру $B_{1}C_{1}$. Тогда плоскость $(BOC)$ совпадает с плоскостью $MNCB$. Аналогично построим прямую $KL$, чтобы получить плоскость $(AOB)$, проходящую через точки $A, K, L, B$.

Обозначим стороны основания как $AB = 2x$ и $BC = 2y$. Согласно условию подобия или пропорциональности отрезков, пусть $BL = 6x$ и $BM = 6y$, при этом $A_{1}M = x$ и $B_{1}L = y$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BMB_{1}$ и $\triangle BLB_{1}$.
Используя теорему Пифагора, выразим квадрат высоты параллелепипеда $BB_{1}$ двумя способами:
$$BB_{1}^{2} = MB^{2} - MB_{1}^{2} = (6y)^{2} - x^{2} = 36y^{2} - x^{2}$$
$$BB_{1}^{2} = BL^{2} - B_{1}L^{2} = (6x)^{2} - y^{2} = 36x^{2} - y^{2}$$
Приравняем полученные выражения:
$36y^{2} - x^{2} = 36x^{2} - y^{2}$
$37y^{2} = 37x^{2} \Rightarrow x = y$.
Так как смежные стороны прямоугольника $ABCD$ равны ($2x = 2y$), то основанием является квадрат, что и требовалось доказать.
б) Продлим отрезок $BM$ за точку $M$ и опустим на эту прямую перпендикуляр $A_{1}H$ из вершины $A_{1}$.
Заметим, что $MN \parallel BC$, следовательно, $MN \perp A_{1}B_{1}$. Также $MN \perp BB_{1}$, поскольку ребро $BB_{1}$ перпендикулярно плоскости верхнего основания. Таким образом, прямая $MN$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $(ABB_{1})$, а значит, $MN \perp (ABB_{1})$. Отсюда следует, что $MN$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая $A_{1}H$.
Имеем:
$A_{1}H \perp BM$ (по построению) и $A_{1}H \perp MN$.
Следовательно, $A_{1}H \perp (BOC)$, и точка $H$ является ортогональной проекцией точки $A_{1}$ на плоскость $(BOC)$. Искомый угол между прямой $A_{1}C$ и плоскостью $(BOC)$ — это $\angle A_{1}CH$.
Найдем высоту $BB_{1}$, используя результат пункта а ($x = y$):
$BB_{1}^{2} = 36x^{2} - x^{2} = 35x^{2} \Rightarrow BB_{1} = x\sqrt{35}$.
Рассмотрим треугольники $\triangle A_{1}HM$ и $\triangle BB_{1}M$:
1) $\angle A_{1}MH = \angle BMB_{1}$ как вертикальные;
2) $\angle A_{1}HM = \angle BB_{1}M = 90^{\circ}$.
Следовательно, $\triangle A_{1}HM \sim \triangle BB_{1}M$ по двум углам. Из подобия имеем:
$\frac{A_{1}H}{BB_{1}} = \frac{A_{1}M}{MB} \Rightarrow A_{1}H = \frac{BB_{1} \cdot A_{1}M}{MB}$
$A_{1}H = \frac{x\sqrt{35} \cdot x}{6x} = \frac{x\sqrt{35}}{6}$.
Вычислим длину диагонали параллелепипеда $A_{1}C$:
$A_{1}C^{2} = AA_{1}^{2} + AD^{2} + AB^{2} = 35x^{2} + (2x)^{2} + (2x)^{2} = 43x^{2} \Rightarrow A_{1}C = x\sqrt{43}$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle A_{1}CH$ найдем синус искомого угла:
$\sin \angle A_{1}CH = \frac{A_{1}H}{A_{1}C} = \frac{x\sqrt{35} / 6}{x\sqrt{43}} = \frac{\sqrt{35}}{6\sqrt{43}} = \frac{\sqrt{1505}}{258}$.
Тогда $\angle A_{1}CH = \arcsin \frac{\sqrt{1505}}{258}$.

Ответ: б) $\arcsin \frac{\sqrt{1505}}{258}$

Источник: ФИПИ

Разбор решения:
Дано неравенство: $x^{2} \log _{512} ( x + 7 ) \leq \log _{2} ( x^{2} + 14 x + 49 )$.
Преобразуем обе части выражения, используя свойства логарифмов. Заметим, что $512 = 2^9$, а выражение под логарифмом справа представляет собой полный квадрат: $x^2 + 14x + 49 = (x + 7)^2$.
$$x^{2} \log _{2^{9}} (x + 7) \leq \log _{2} (x + 7)^{2}$$ Вынесем показатели степеней за знаки логарифмов:
$$\frac{x^{2}}{9} \log _{2} (x + 7) \leq 2 \log _{2} |x + 7|$$ Учтем область допустимых значений переменной:
$\begin{cases} x + 7 > 0 \\ (x + 7)^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow x > -7$.
Так как при $x > -7$ выражение $x + 7$ всегда положительно, модуль можно опустить: $|x + 7| = x + 7$.
Перенесем все слагаемые в левую часть для последующего разложения на множители:
$$\frac{x^{2}}{9} \log _{2} (x + 7) - 2 \log _{2} (x + 7) \leq 0$$ Вынесем общий множитель $\log _{2} (x + 7)$ за скобки:
$$\log _{2} (x + 7) \left(\frac{x^{2}}{9} - 2\right) \leq 0$$ Умножим неравенство на 9, чтобы избавиться от знаменателя:
$$\log _{2} (x + 7) (x^{2} - 18) \leq 0$$ Применим метод рационализации для логарифмического множителя (учитывая, что основание $2 > 1$):
$$(2 - 1)(x + 7 - 1)(x^2 - 18) \leq 0$$ $$(x + 6)(x^2 - 18) \leq 0$$ Решим полученное неравенство методом интервалов, отметив корни на числовой прямой:


Множество решений данного неравенства: $x \in (-\infty; -6] \cup [-\sqrt{18}; \sqrt{18}]$.
С учетом условия $x > -7$, получаем итоговый промежуток.

Ответ: $(-7; -6] \cup [-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2}]$

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:
Введем обозначения для условий:
Срок вклада: $n = 4$ года;
Начальная сумма: $S$ (выражена целым числом миллионов рублей);
Процентная ставка: $r = 10\%$ годовых;
Коэффициент увеличения суммы: $k = 1 + \frac{10}{100} = 1{,}1$.
Согласно условию, перед начислением процентов в начале третьего и четвертого годов клиент вносит дополнительно по 3 млн рублей.
Требуется определить минимальное целое $S$, при котором итоговая сумма через 4 года превысит 20 млн рублей.

Проследим за изменением состояния счета по годам:

Составим и решим неравенство на основе финальной суммы:
$1{,}4641 S + 6{,}93 > 20$
$1{,}4641 S > 13{,}07$
$S > \frac{130700}{14641}$
Выполнив деление, получим:
$S > 8{,}927...$
Так как по условию $S$ — наименьшее целое число миллионов, то $S = 9$.

Ответ: 9

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Рассмотрим четырёхугольник $ABED$. Так как он вписан в окружность и является трапецией, то эта трапеция обязательно равнобедренная. Отсюда следует равенство углов при основании: $\angle ADE = \angle BAD$.
Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные углы равны: $\angle BAD = \angle BCD$. Также, из параллельности прямых $BC$ и $AD$ вытекает, что соответственные углы $\angle ADK$ и $\angle BCD$ равны.
Таким образом, мы получаем цепочку равенств: $\angle ADE = \angle BAD = \angle BCD = \angle ADK$. Из того, что $\angle ADE = \angle ADK$, следует равенство соответствующих хорд (или дуг), то есть $AE = AK$. Утверждение доказано.

б) Найдём отношение длин отрезков $KE$ и $BD$.
Согласно условию и предыдущим рассуждениям, углы $\angle EDA$, $\angle ADK$ и $\angle BAD$ равны по $60^{\circ}$.
Тогда величина угла $EDK$ составляет: $\angle EDK = \angle EDA + \angle ADK = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
Заметим, что четырёхугольник $EDKA$ является вписанным, следовательно, сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$:
$$\angle EAK = 180^{\circ} - \angle EDK = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}.$$
Заметим, что $\angle BAD = \angle EAK = 60^{\circ}$. Эти вписанные углы опираются на хорды $BD$ и $EK$ соответственно в одной и той же окружности. Так как равным вписанным углам соответствуют равные хорды, получаем $BD = EK$.
Следовательно, искомое отношение $\frac{EK}{BD} = 1$.

Ответ: б) 1

Источник: ФИПИ

Решение:
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла и не обращается в ноль. Таким образом, искомые значения $x$ должны удовлетворять уравнению $9x^{2} - a^{2} = 0$ при соблюдении ограничения $x^{2} + 8x + 16 - a^{2} \neq 0$.
Разложим выражение в числителе на множители: $9x^{2} - a^{2} = (3x - a)(3x + a)$. На координатной плоскости $Oxa$ уравнение $(3x - a)(3x + a) = 0$ представляет собой две пересекающиеся в начале координат прямые $l_1: a = 3x$ и $l_2: a = -3x$. При $a = 0$ эти прямые дают единственное решение $x = 0$, а при любом $a \neq 0$ мы получаем два различных корня по $x$.
Теперь разложим выражение из условия отличия знаменателя от нуля: $x^{2} + 8x + 16 - a^{2} = (x + 4)^{2} - a^{2} = (x + 4 - a)(x + 4 + a)$. Условие того, что знаменатель равен нулю, соответствует паре прямых $m_1: a = x + 4$ и $m_2: a = -x - 4$.
Чтобы понять, при каких значениях параметра $a$ корни числителя «выкалываются» знаменателем, найдём точки пересечения прямых $l_1, l_2$ с прямыми $m_1, m_2$.
1) Найдём пересечение $l_1$ и $m_1$, решив систему: $$\begin{cases} a = 3x \\ a = x + 4 \end{cases} \Rightarrow 3x = x + 4 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \\ a = 6 \end{cases}$$ Следовательно, при $a = 6$ один из корней числителя совпадает с корнем знаменателя.
2) Найдём пересечение $l_1$ и $m_2$: $$\begin{cases} a = 3x \\ a = -x - 4 \end{cases} \Rightarrow 3x = -x - 4 \Rightarrow 4x = -4 \Rightarrow \begin{cases} x = -1 \\ a = -3 \end{cases}$$ Значит, при $a = -3$ один корень также посторонний.
3) Найдём пересечение $l_2$ и $m_1$: $$\begin{cases} a = -3x \\ a = x + 4 \end{cases} \Rightarrow -3x = x + 4 \Rightarrow -4x = 4 \Rightarrow \begin{cases} x = -1 \\ a = 3 \end{cases}$$ То есть при $a = 3$ один из корней не подходит.
4) Найдём пересечение $l_2$ и $m_2$: $$\begin{cases} a = -3x \\ a = -x - 4 \end{cases} \Rightarrow -3x = -x - 4 \Rightarrow -2x = -4 \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \\ a = -6 \end{cases}$$ Таким образом, при $a = -6$ один корень исключается.
Заметим, что при $a = -3$ и $a = 3$ «выкалывается» только один из двух корней числителя (так как в этих точках пересекаются только две прямые, а не три), поэтому уравнение всё равно будет иметь два корня. Однако, исходя из структуры задачи и анализа исключаемых точек, условие $x^{2} + 8x + 16 - a^{2} \neq 0$ нарушается для одного из корней $9x^{2} - a^{2} = 0$ в точках $a = \pm 6$ и $a = \pm 3$. При $a = 0$ уравнение имеет всего один корень $x = 0$.
Следовательно, ровно два различных решения исходное уравнение имеет при всех $a$, кроме $0, 6, -6, 3, -3$. Однако, перепроверив точки пересечения, мы видим, что при $a = 3$ и $a = -3$ один корень выбывает, но второй остается, и так как изначально их было два, остается ровно один? Нет, при $a \neq 0$ у нас всегда два потенциальных корня $x = a/3$ и $x = -a/3$. Если один из них совпадает с корнем знаменателя, остается только один корень. Значит, значения $a = \pm 3$ и $a = \pm 6$ должны быть исключены, как и $a = 0$.
Итого, два корня будет при: $a \in (-\infty; -6) \cup (-6; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 6) \cup (6; +\infty)$.

Критерии оценивания:
4 балла — Полное верное решение и ответ.
3 балла — Решение верно, но в ответ ошибочно включена точка $a = 0$.
2 балла — Рассмотрен хотя бы один случай, ответ отличается от верного включением точек $\pm 6, 0, 3$ или $\pm 3, 0, 6$, либо допущена одна вычислительная ошибка при верном алгоритме.
1 балл — Задача правильно сведена к анализу расположения прямых на плоскости.
0 баллов — Решение не соответствует указанным критериям.

Ответ: $a \in (-\infty; -6) \cup (-6; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 6) \cup (6; +\infty)$

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:
а) Да, такая ситуация возможна. В качестве примера возьмём число $2014$. Его можно представить как сумму $2006 + 8$. При этом сумма цифр первого слагаемого равна $2 + 0 + 0 + 6 = 8$, что совпадает со вторым слагаемым.
б) Предположим, что число $199$ можно разложить на два натуральных числа $A$ и $B$ с равной суммой цифр: $A + B = 199$.
Проанализируем сложение $A$ и $B$ по разрядам. В разряде единиц сумма цифр должна давать $9$. Поскольку максимальная сумма двух цифр — $18$, переноса в следующий разряд быть не может. Аналогично в разряде десятков: сумма цифр равна $9$, и перенос в сотни отсутствует. В разряде сотен сумма цифр равна $1$.
Пусть число $A$ записывается как $\overline{abc}$, тогда его сумма цифр $S(A) = a + b + c$. Исходя из структуры суммы $199$, число $B$ будет иметь вид $\overline{(1-a)(9-b)(9-c)}$. Тогда сумма цифр второго числа: $S(B) = (1 - a) + (9 - b) + (9 - c) = 19 - (a + b + c)$.
Заметим, что выражения $S(A)$ и $19 - S(A)$ всегда имеют разную четность (так как их сумма $19$ — нечетное число). Следовательно, они не могут быть равны.
Если же приравнять их: $a + b + c = 19 - (a + b + c)$, то получим $2(a + b + c) = 19$, откуда $a + b + c = 9{,}5$. Но сумма цифр обязана быть целым числом. Полученное противоречие доказывает, что для числа $199$ такое представление невозможно.
в) Нам нужно найти минимально возможную сумму шести различных натуральных чисел $x_1, x_2, \dots, x_6$, имеющих одинаковую сумму цифр.
Обозначим эту общую сумму цифр через $S$. Заметим, что если у чисел одинаковая сумма цифр, то они дают одинаковые остатки при делении на $9$. Значит, разность между любыми двумя такими числами кратна $9$. Упорядочим их: $x_1 < x_2 < \dots < x_6$. Тогда минимальные значения будут: $x_2 \geq x_1 + 9$, $x_3 \geq x_1 + 18$, ..., $x_6 \geq x_1 + 45$.
Общая сумма $\Sigma \geq 6x_1 + (9 + 18 + 27 + 36 + 45) = 6x_1 + 135$.
Проверим варианты для различных значений суммы цифр $S$:
Если $S = 1$, то числа: $1, 10, 100, 1000, 10000, 100000$. Сумма слишком велика: $111111$.
Если $S = 2$, берем наименьшие: $2, 11, 20, 101, 110, 200$. Сумма равна $444$.
Если $S = 3$, берем наименьшие: $3, 12, 21, 30, 102, 111$. Сумма равна $279$.
Если $S = 4$, берем наименьшие: $4, 13, 22, 31, 40, 103$. Сумма равна $213$.
Если $S = 5$, берем наименьшие: $5, 14, 23, 32, 41, 50$. Сумма равна $165$.
Если $S = 6$, берем наименьшие: $6, 15, 24, 33, 42, 51$. Сумма равна $171$.
Для $S \geq 6$ минимально возможная сумма по формуле $6x_1 + 135$ будет не меньше $6 \cdot 6 + 135 = 171$, что уже больше $165$.
Таким образом, наименьшее искомое число — $165$.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 165

Источник: ФИПИ