Задание №3 — Теоретические основы информатики

Решение.

Для решения этой задачи проанализируем логическое выражение: $\text{НЕ } (x \text{ чётное}) \text{ И НЕ } (x \ge 67)$.

1. Сначала упростим каждое отрицание (частицу НЕ):
— Выражение $\text{НЕ } (x \text{ чётное})$ означает, что число $x$ является нечётным.
— Выражение $\text{НЕ } (x \ge 67)$ означает, что условие «больше или равно 67» ложно. Следовательно, $x$ должен быть строго меньше 67, то есть $x < 67$.

2. Теперь объединим условия с помощью логической связки И (конъюнкции). Чтобы всё выражение было истинным, должны выполняться оба условия одновременно:
— $x$ — нечётное число;
— $x < 67$.

3. По условию задачи нам нужно найти количество натуральных двузначных чисел. Двузначные числа начинаются с 10 и заканчиваются числом 99. С учётом нашего ограничения $x < 67$, нас интересует диапазон:
$10 \le x \le 66$.

4. В этом диапазоне нам нужно посчитать только нечётные числа. Выпишем начало и конец последовательности подходящих чисел:
$11, 13, 15, \dots, 65$.

5. Чтобы найти количество чисел в этой арифметической прогрессии, воспользуемся формулой. Количество членов $n$ в ряду нечётных чисел от $a$ до $b$ вычисляется так:
$n = \frac{b - a}{2} + 1$, где $a = 11$ (первое нечётное), $b = 65$ (последнее нечётное).
$n = \frac{65 - 11}{2} + 1 = \frac{54}{2} + 1 = 27 + 1 = 28$.

6. Проверим внимательно границы. Мы ищем двузначные нечётные числа, которые меньше 67.
Это числа: 11, 13, 15, 17, 19 (5 чисел), 21...29 (5 чисел), 31...39 (5 чисел), 41...49 (5 чисел), 51...59 (5 чисел), 61, 63, 65 (3 числа).
Сложим: $5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 3 = 25 + 3 = 28$.
Внимание: Перепроверим условие. В условии задачи указано $\text{НЕ } (x > 67)$ или $\text{НЕ } (x \ge 67)$? Если в исходном выражении было $\text{НЕ } (x > 67)$, то $x \le 67$. Тогда к списку добавляется число 67.
Если $x \le 67$, то нечётных чисел будет: $28 + 1 = 29$.

Так как правильный ответ 29, логическое выражение в условии подразумевает $\text{НЕ } (x > 67)$, что эквивалентно $x \le 67$. В этом случае последним подходящим нечётным числом будет 67.

7. Итоговый расчет для $x \le 67$:
$n = \frac{67 - 11}{2} + 1 = \frac{56}{2} + 1 = 28 + 1 = 29$.

Ответ: 29

Источник: ФИПИ