Задание №4 — Теоретические основы информатики

Решение.

Для решения этой задачи нам необходимо найти кратчайший путь из пункта $A$ в пункт $F$, который обязательно проходит через пункт $C$. Это означает, что нашу задачу можно разделить на два этапа:
1. Найти кратчайший путь от $A$ до $C$.
2. Найти кратчайший путь от $C$ до $F$.
Итоговая длина будет равна сумме длин этих двух участков.

Этап 1: Путь от A до C.
Посмотрим на таблицу и выпишем возможные варианты путей из $A$ в $C$:
— Прямой путь: $A \rightarrow C$ длиной $4$ км.
— Через пункт $B$: $A \rightarrow B \rightarrow C$. Длина: $3 + 3 = 6$ км.
Другие варианты (например, через $D$) будут заведомо длиннее, так как только до $D$ от $A$ уже $15$ км.
Таким образом, кратчайший путь $A \rightarrow C$ равен $4$ км.

Этап 2: Путь от C до F.
Теперь найдем кратчайший путь из $C$ в $F$. Важно помнить, что мы не можем возвращаться в пункт $A$, так как каждый пункт посещается один раз.
— Прямой путь: $C \rightarrow F$ длиной $6$ км.
— Через пункт $D$: $C \rightarrow D \rightarrow F$. Длина: $1 + 6 = 7$ км.
— Через пункт $E$: $C \rightarrow E \rightarrow F$. Длина: $6 + 1 = 7$ км.
— Через пункты $D$ и $E$: $C \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow F$. Длина: $1 + 2 + 1 = 4$ км.
— Через пункт $B$: $C \rightarrow B \rightarrow D \dots$ — этот путь будет длиннее, так как $C \rightarrow B$ уже $3$ км, а кратчайший остаток пути до $F$ через $D$ и $E$ добавит еще минимум $3$ км ($3 + 1 + 2 + 1 = 7$).

Самый короткий путь из $C$ в $F$ — это $C \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow F$ длиной $4$ км.

Этап 3: Итоговый расчет.
Сложим длины кратчайших участков:
$L = (A \rightarrow C) + (C \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow F)$
$L = 4 \text{ км} + 4 \text{ км} = 8 \text{ км}$.

Проверим, нет ли других комбинаций. Любой путь, проходящий через $C$, будет состоять из части до $C$ и части после $C$. Мы выбрали минимальные значения для обеих частей, следовательно, общая сумма минимальна.

Ответ: 8 км

Источник: ФИПИ