Задание №3 — Теоретические основы информатики

Решение.

Для решения этой задачи нам необходимо проанализировать логическое выражение и найти условия, при которых оно принимает значение «ложь».

1. Рассмотрим исходное выражение: $\text{НЕ } (x \text{ чётное}) \text{ И НЕ } (x \text{ кратно } 13)$.
По условию задачи это выражение должно быть ложным. Вспомним таблицу истинности для логической операции «И» (конъюнкции). Выражение $A \text{ И } B$ ложно в трёх случаях: когда ложно $A$, когда ложно $B$, или когда ложны оба одновременно.

2. Чтобы упростить работу, применим закон де Моргана: $\text{НЕ } A \text{ И НЕ } B \equiv \text{НЕ } (A \text{ ИЛИ } B)$.
Тогда наше выражение примет вид: $\text{НЕ } (x \text{ чётное ИЛИ } x \text{ кратно } 13)$.
Нам нужно, чтобы это выражение было ложным. Отрицание (НЕ) ложно тогда, когда выражение под ним истинно.

3. Таким образом, нам нужно найти количество двузначных чисел $x$, для которых истинно условие:
$(x \text{ чётное}) \text{ ИЛИ } (x \text{ кратно } 13)$.

4. Найдём количество чисел, удовлетворяющих каждой части этого условия в диапазоне двузначных чисел (от $10$ до $99$):
— Всего двузначных чисел: $99 - 10 + 1 = 90$.
— Количество чётных чисел: Ровно половина из $90$ чисел являются чётными. $90 / 2 = 45$.
— Количество чисел, кратных 13: Выпишем их: $13, 26, 39, 52, 65, 78, 91$. Всего $7$ чисел.

5. Теперь воспользуемся формулой включений-исключений, чтобы не посчитать некоторые числа дважды. Нам нужно сложить количество чётных чисел и количество чисел, кратных $13$, а затем вычесть те числа, которые являются и чётными, и кратными $13$ одновременно (то есть кратны $26$).
— Числа, кратные $13$ и чётные: $26, 52, 78$. Всего $3$ числа.

6. Вычисляем итоговое количество:
$N = 45 \text{ (чётные)} + 7 \text{ (кратные 13)} - 3 \text{ (общие)} = 49$.

Ответ: 49

Источник: ФИПИ