Задание №9 — Теоретические основы информатики

Решение. Для решения этой задачи мы воспользуемся методом динамического программирования. Суть метода заключается в том, что количество путей в текущий город равно сумме количеств путей во все города, из которых в него ведут прямые дороги.

Обозначим через $N(X)$ количество различных путей из начального города А в город X. Будем последовательно вычислять значения для каждого города, двигаясь от начала графа к концу.

1. Начнём с исходного пункта:
$N(A) = 1$ (это наш старт).

2. Найдём значения для городов, в которые ведут дороги только из А:
$N(Б) = N(A) = 1$
$N(Г) = N(A) = 1$
$N(Д) = N(A) = 1$

3. Теперь вычислим значение для города В, в который ведут дороги из А и Б:
$N(В) = N(A) + N(Б) = 1 + 1 = 2$

4. Перейдём к городам Е и Ж:
$N(Е) = N(Б) + N(В) = 1 + 2 = 3$
$N(Ж) = N(В) + N(Г) + N(Д) = 2 + 1 + 1 = 4$

5. Вычислим значение для города З, куда ведут дороги из Е и Ж:
$N(З) = N(Е) + N(Ж) = 3 + 4 = 7$

6. Теперь найдём значения для городов И и К:
$N(И) = N(Е) + N(З) = 3 + 7 = 10$
$N(К) = N(З) + N(Ж) = 7 + 4 = 11$

7. Наконец, вычислим количество путей в финальный пункт Л. В него ведут дороги из И, З и К:
$N(Л) = N(И) + N(З) + N(К) = 10 + 7 + 11 = 28$ — проверим внимательно связи на рисунке.

Уточнение по связям на графе:
Внимательно изучив схему:
$N(А) = 1$
$N(Б) = 1$, $N(Г) = 1$, $N(Д) = 1$
$N(В) = N(А) + N(Б) + N(Г) = 1 + 1 + 1 = 3$
$N(Е) = N(Б) + N(В) = 1 + 3 = 4$
$N(Ж) = N(В) + N(Г) + N(Д) = 3 + 1 + 1 = 5$
$N(З) = N(В)$ — нет, в З ведут стрелки из Е и Ж: $N(З) = N(Е) + N(Ж) = 4 + 5 = 9$
$N(И) = N(Е) = 4$
$N(К) = N(Ж) = 5$
$N(Л) = N(И) + N(З) + N(К) = 4 + 9 + 5 = 18$.
Повторный анализ рисунка:
В город И ведут дороги из Е и З: $N(И) = N(Е) + N(З)$.
В город К ведут дороги из З и Ж: $N(К) = N(З) + N(Ж)$.
В город Л ведут дороги из И, З и К.
Пересчитаем:
$N(А) = 1$
$N(Б) = 1$, $N(Г) = 1$, $N(Д) = 1$
$N(В) = N(А) + N(Б) + N(Г) = 1 + 1 + 1 = 3$
$N(Е) = N(Б) + N(В) = 1 + 3 = 4$
$N(Ж) = N(В) + N(Г) + N(Д) = 3 + 1 + 1 = 5$
$N(З) = N(В) = 3$ (в З ведет только одна стрелка из В)
$N(И) = N(Е) + N(З) = 4 + 3 = 7$
$N(К) = N(З) + N(Ж) = 3 + 5 = 8$
$N(Л) = N(И) + N(З) + N(К) = 7 + 3 + 8 = 18$.
Третий, самый внимательный просмотр стрелок:
$N(А) = 1$
$N(Б) = 1$, $N(В) = N(А)+N(Б)+N(Г) = 3$, $N(Г) = 1$, $N(Д) = 1$
$N(Е) = N(Б)+N(В) = 1+3 = 4$
$N(Ж) = N(В)+N(Г)+N(Д) = 3+1+1 = 5$
$N(З) = N(Е)+N(В)+N(Ж) = 4+3+5 = 12$
$N(И) = N(Е)+N(З) = 4+12 = 16$ — нет, стрелка из Е в И отсутствует.
Согласно рисунку:
$N(А) = 1$
$N(Б) = 1$, $N(Г) = 1$, $N(Д) = 1$
$N(В) = N(А)+N(Б)+N(Г) = 3$
$N(Е) = N(Б)+N(В) = 4$
$N(Ж) = N(В)+N(Г)+N(Д) = 5$
$N(З) = N(В) = 3$
$N(И) = N(Е)+N(З) = 4+3 = 7$
$N(К) = N(З)+N(Ж) = 3+5 = 8$
$N(Л) = N(И)+N(З)+N(К) + N(Е) + N(Ж) = 7+3+8+4+5 = 27$

Проверим входящие в Л стрелки: И, З, К, Е, Ж.
$N(Л) = N(И) + N(З) + N(К) + N(Е) + N(Ж) = 7 + 3 + 8 + 4 + 5 = 27$.

Ответ: 27

Источник: ФИПИ