Задание №16 — Алгоритмы и программирование

Решение.

Для решения этой задачи нам необходимо проанализировать каждое введённое число на соответствие двум условиям в пятеричной системе счисления:
1. Число должно быть четырёхзначным в системе счисления с основанием 5.
2. Число должно оканчиваться на цифру 1 в системе счисления с основанием 5.

Разберём эти условия подробнее:

Шаг 1. Условие четырёхзначности.
В любой системе счисления с основанием $q$ минимальное $n$-значное число — это $q^{n-1}$, а максимальное — это $q^n - 1$.
Для пятеричной системы ($q = 5$) и четырёх знаков ($n = 4$):
Минимальное число: $5^{4-1} = 5^3 = 125$.
Максимальное число: $5^4 - 1 = 625 - 1 = 624$.
Следовательно, в десятичной системе число $x$ должно удовлетворять условию: $125 \le x \le 624$.

Шаг 2. Условие последней цифры.
Последняя цифра числа в системе счисления с основанием $q$ — это остаток от деления этого числа на $q$.
Чтобы число в пятеричной системе оканчивалось на 1, остаток от деления десятичного числа на 5 должен быть равен 1.
Математически: $x \pmod 5 = 1$.

Шаг 3. Анализ примера.
Проверим числа из примера:
— $86$: $86 < 125$ (не подходит, оно трёхзначное в 5-ричной системе: $321_5$).
— $136$: $125 \le 136 \le 624$ и $136 \pmod 5 = 1$ (подходит, это $1021_5$).
— $271$: $125 \le 271 \le 624$ и $271 \pmod 5 = 1$ (подходит, это $2041_5$).
— $496$: $125 \le 496 \le 624$ и $496 \pmod 5 = 1$ (подходит, это $3441_5$).
— $731$: $731 > 624$ (не подходит, оно пятизначное в 5-ричной системе: $10411_5$).
Итого: 3 числа.

Шаг 4. Алгоритм программы.
1. Создаём счётчик $count = 0$.
2. Считываем числа в цикле, пока не встретим 0.
3. Для каждого числа проверяем: (число $\ge 125$) И (число $\le 624$) И (остаток от деления на 5 равен 1).
4. Если условия верны, увеличиваем $count$ на 1.
5. Выводим результат.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ